Номер 20, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

20. Одной бригаде, чтобы выполнить всю работу, нужно 10 дней, другой — на 2 дня больше, а третьей — в 1,5 раза больше, чем первой. Найдите, за какое время могут выполнить всю работу три бригады, работая совместно.

Для решения задачи примем весь объем работы за 1 (единицу).

1. Сначала найдем, сколько времени требуется для выполнения всей работы второй и третьей бригадам по отдельности.

• Время работы первой бригады (по условию): $T_1 = 10$ дней.
• Второй бригаде требуется на 2 дня больше, чем первой: $T_2 = 10 + 2 = 12$ дней.
• Третьей бригаде требуется в 1,5 раза больше времени, чем первой: $T_3 = 10 \times 1,5 = 15$ дней.

2. Теперь определим производительность каждой бригады. Производительность — это часть работы, которую бригада выполняет за один день.

• Производительность первой бригады: $P_1 = \frac{1}{10}$ работы в день.
• Производительность второй бригады: $P_2 = \frac{1}{12}$ работы в день.
• Производительность третьей бригады: $P_3 = \frac{1}{15}$ работы в день.

3. Чтобы найти, за какое время бригады выполнят работу вместе, необходимо найти их общую производительность, сложив производительности каждой бригады. Общая производительность $P_{общ}$ будет равна:

$P_{общ} = P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 10, 12 и 15 — это 60.

$P_{общ} = \frac{1 \times 6}{60} + \frac{1 \times 5}{60} + \frac{1 \times 4}{60} = \frac{6+5+4}{60} = \frac{15}{60}$

Сократим полученную дробь:

$P_{общ} = \frac{1}{4}$

Это означает, что, работая вместе, три бригады выполняют $\frac{1}{4}$ всей работы за один день.

4. Чтобы найти общее время $T_{общ}$, за которое будет выполнена вся работа, нужно единицу (весь объем работы) разделить на общую производительность:

$T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 1 \div \frac{1}{4} = 1 \times 4 = 4$ дня.

Ответ: 4 дня.