Номер 22, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

22. Используйте определение степени с целым показателем и найдите значение выражения:

а) $ (6-4 \cdot (\frac{5}{16})^0)^{-2}; $

б) $ (3 \cdot (\frac{2}{3})^{-2} + 4^{-1}) : (0,5^{-2} + 0,2^{-1}); $

В) $ \frac{0,5^{-2} - 5 \cdot (-2)^{-2} + (\frac{2}{3})^{-2}}{2^{-2} + 1^0}. $

a) Для нахождения значения выражения $(6 - 4 \cdot (\frac{5}{16})^0)^{-2}$ выполним следующие действия по порядку:

1. Сначала вычислим выражение в скобках. Любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно 1.
   $(\frac{5}{16})^0 = 1$
2. Подставим полученное значение в выражение:
   $6 - 4 \cdot 1 = 6 - 4 = 2$
3. Теперь возведем результат в степень -2. Степень с отрицательным целым показателем $a^{-n}$ определяется как $\frac{1}{a^n}$.
   $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Таким образом, полное решение выглядит так:

$(6 - 4 \cdot (\frac{5}{16})^0)^{-2} = (6 - 4 \cdot 1)^{-2} = (2)^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Ответ: a) $\frac{1}{4}$.

б) Для нахождения значения выражения $(3 \cdot (\frac{2}{3})^{-2} + 4^{-1}) : (0,5^{-2} + 0,2^{-1})$ решим его по частям.

1. Вычислим значение первого выражения в скобках: $3 \cdot (\frac{2}{3})^{-2} + 4^{-1}$.
   Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
   $(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.
   $3 \cdot \frac{9}{4} = \frac{27}{4}$.
   Используем определение $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
   $4^{-1} = \frac{1}{4}$.
   Складываем полученные значения:
   $\frac{27}{4} + \frac{1}{4} = \frac{28}{4} = 7$.
2. Вычислим значение второго выражения в скобках: $0,5^{-2} + 0,2^{-1}$.
   Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,5 = \frac{1}{2}$ и $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
   $0,5^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 4$.
   $0,2^{-1} = (\frac{1}{5})^{-1} = (\frac{5}{1})^1 = 5$.
   Складываем полученные значения:
   $4 + 5 = 9$.
3. Разделим результат первого действия на результат второго:
   $7 : 9 = \frac{7}{9}$.

Ответ: б) $\frac{7}{9}$.

в) Для нахождения значения выражения $\frac{0,5^{-2} - 5 \cdot (-2)^{-2} + (\frac{2}{3})^{-2}}{2^{-2} + 1^0}$ вычислим отдельно числитель и знаменатель.

1. Вычисление числителя: $0,5^{-2} - 5 \cdot (-2)^{-2} + (\frac{2}{3})^{-2}$

• $0,5^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.
• $(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.
• $(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.
• Подставляем значения в выражение для числителя:
  $4 - 5 \cdot \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = 4 - \frac{5}{4} + \frac{9}{4} = \frac{16}{4} - \frac{5}{4} + \frac{9}{4} = \frac{16 - 5 + 9}{4} = \frac{20}{4} = 5$.

2. Вычисление знаменателя: $2^{-2} + 1^0$

• $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
• $1^0 = 1$.
• Складываем значения:
  $\frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{5}{4}$.

3. Деление числителя на знаменатель:

$\frac{5}{\frac{5}{4}} = 5 : \frac{5}{4} = 5 \cdot \frac{4}{5} = 4$.

Ответ: в) 4.