Номер 103, страница 30 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$t$ - разница во времени, с которой туристы услышали звук
$v_1$ - модуль скорости самолета
$v_2$ - модуль скорости звука

Найти:

$H$ - высота горы

Решение:

Когда объект движется со скоростью $v_1$, превышающей скорость звука $v_2$ в среде, он создает ударную волну. Фронт этой волны имеет форму конуса, который называют конусом Маха. Наблюдатель слышит звук (звуковой удар) в тот момент, когда поверхность этого конуса проходит через него.

Угол $\alpha$ между осью конуса (траекторией движения самолета) и его образующей является постоянной величиной и определяется соотношением скоростей:

$\sin \alpha = \frac{v_2}{v_1}$

Введем систему координат. Пусть туристы находятся на вертикальной оси $OY$. Турист у подножия горы (назовем его $T_2$) находится в начале координат $(0, 0)$. Турист на вершине горы ($T_1$) находится в точке $(0, H)$, где $H$ — искомая высота горы. Самолет летит на некоторой постоянной высоте $y_p$ ($y_p > H$) параллельно оси $OX$.

Пусть в момент времени $t_0 = 0$ фронт ударной волны достигает туриста на вершине $T_1$. В этот момент вершина конуса (сам самолет) находится в некоторой точке с координатами $(x_0, y_p)$. Уравнение сечения конуса Маха в плоскости $XOY$ имеет вид:

$(x - x_{\text{вершины}})^2 = (y - y_{\text{вершины}})^2 \cot^2 \alpha$

В момент $t_0=0$ вершина конуса находится в точке $(x_0, y_p)$, и конус проходит через точку $T_1(0, H)$. Подставив эти значения, получим:

$(0 - x_0)^2 = (H - y_p)^2 \cot^2 \alpha \implies x_0^2 = (y_p - H)^2 \cot^2 \alpha$

Будем считать, что $x_0 > 0$ и $y_p > H$. Тогда, извлекая корень, получаем:

$x_0 = (y_p - H) \cot \alpha \quad (1)$

По условию, турист у подножия горы $T_2$ слышит звук на $t$ позже, то есть в момент времени $t$. За это время самолет пролетит расстояние $v_1 t$, и вершина конуса Маха переместится в точку с координатами $(x_0 + v_1 t, y_p)$. В этот момент фронт волны достигнет туриста $T_2$ в точке $(0, 0)$. Запишем уравнение конуса для этого момента:

$(0 - (x_0 + v_1 t))^2 = (0 - y_p)^2 \cot^2 \alpha \implies (x_0 + v_1 t)^2 = y_p^2 \cot^2 \alpha$

Извлекая корень, получаем:

$x_0 + v_1 t = y_p \cot \alpha \quad (2)$

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2). Подставим выражение для $x_0$ из первого уравнения во второе:

$(y_p - H) \cot \alpha + v_1 t = y_p \cot \alpha$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y_p \cot \alpha - H \cot \alpha + v_1 t = y_p \cot \alpha$

$- H \cot \alpha + v_1 t = 0$

$v_1 t = H \cot \alpha$

Отсюда выражаем высоту горы $H$:

$H = v_1 t \tan \alpha$

Теперь необходимо выразить $\tan \alpha$ через заданные скорости $v_1$ и $v_2$. Известно, что $\sin \alpha = v_2/v_1$. Используем тригонометрическое тождество $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}$ (угол $\alpha$ острый, так как $v_1 > v_2 > 0$):

$\tan \alpha = \frac{v_2/v_1}{\sqrt{1 - (v_2/v_1)^2}} = \frac{v_2/v_1}{\sqrt{\frac{v_1^2 - v_2^2}{v_1^2}}} = \frac{v_2/v_1}{\frac{\sqrt{v_1^2 - v_2^2}}{v_1}} = \frac{v_2}{\sqrt{v_1^2 - v_2^2}}$

Подставим полученное выражение для $\tan \alpha$ в формулу для высоты $H$:

$H = v_1 t \cdot \frac{v_2}{\sqrt{v_1^2 - v_2^2}}$

Ответ:

Высота горы определяется формулой: $H = \frac{v_1 v_2 t}{\sqrt{v_1^2 - v_2^2}}$.