Номер 99, страница 30 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Уравнения движения байдарки:
$x = A + Bt$
$y = C + Dt$
$A = 2$ м
$B = 3$ м/с
$C = 1$ м
$D = 4$ м/с

Найти:

$x_0, y_0$ - начальные координаты
$v$ - модуль скорости
$\alpha$ - направление вектора скорости к оси Ox
$y(x)$ - уравнение траектории

Решение:

координаты байдарки в начальный момент времени
Начальный момент времени соответствует $t = 0$. Чтобы найти начальные координаты, подставим $t=0$ в уравнения движения:
$x_0 = x(0) = A + B \cdot 0 = A = 2$ м.
$y_0 = y(0) = C + D \cdot 0 = C = 1$ м.
Следовательно, в начальный момент времени байдарка находилась в точке с координатами (2 м; 1 м).
Ответ: Начальные координаты байдарки $(2; 1)$.

модуль скорости ее движения
Проекции вектора скорости на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат по времени:
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d(A + Bt)}{dt} = B = 3$ м/с.
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d(C + Dt)}{dt} = D = 4$ м/с.
Поскольку проекции скорости $v_x$ и $v_y$ являются постоянными величинами, движение является равномерным и прямолинейным.
Модуль скорости (величина вектора скорости) находится по теореме Пифагора:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{B^2 + D^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ м/с.
Ответ: Модуль скорости движения байдарки равен $5$ м/с.

направление вектора скорости к оси Ox
Направление вектора скорости можно определить по углу $\alpha$, который он образует с положительным направлением оси Ox. Тангенс этого угла равен отношению проекции скорости на ось Oy к проекции на ось Ox:
$\tan \alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{D}{B} = \frac{4}{3}$.
Отсюда угол $\alpha$ равен:
$\alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53,13^\circ$.
Ответ: Вектор скорости направлен под углом $\alpha = \arctan(4/3)$ к оси Ox.

уравнение траектории движения байдарки
Уравнение траектории — это зависимость координаты $y$ от координаты $x$. Чтобы его найти, нужно исключить параметр времени $t$ из системы уравнений движения.Выразим время $t$ из уравнения для координаты $x$:
$x = A + Bt \implies Bt = x - A \implies t = \frac{x - A}{B}$.
Теперь подставим это выражение для $t$ в уравнение для координаты $y$:
$y = C + Dt = C + D \left(\frac{x - A}{B}\right)$.
Подставим известные значения коэффициентов $A, B, C, D$ в полученное уравнение:
$y = 1 + 4 \cdot \frac{x - 2}{3}$.
Упростим выражение:
$y = 1 + \frac{4x - 8}{3} = \frac{3 + 4x - 8}{3} = \frac{4x - 5}{3}$.
Таким образом, уравнение траектории имеет вид:
$y = \frac{4}{3}x - \frac{5}{3}$.
Это уравнение прямой, что подтверждает прямолинейность движения.
Ответ: Уравнение траектории движения байдарки $y = \frac{4}{3}x - \frac{5}{3}$.