Номер 105, страница 31 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Число кругов, пройденных первым учащимся, $N = 4$.

Начальное положение учащихся: диаметрально противоположные точки на беговой дорожке.

Найти:

Отношение модулей скоростей учащихся $\frac{v_1}{v_2}$.

Решение:

Обозначим длину беговой дорожки (одного полного круга) как $L$.

Поскольку учащиеся в начальный момент времени находились в диаметрально противоположных точках, расстояние между ними вдоль беговой дорожки составляло половину ее длины: $s_0 = \frac{L}{2}$.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — это модули скоростей первого и второго учащихся соответственно. Учащиеся движутся в одном направлении. Так как первый учащийся догоняет второго, его скорость должна быть больше, то есть $v_1 > v_2$.

Пусть $t$ — это время, которое прошло с момента старта до момента, когда первый учащийся догнал второго.

За это время первый учащийся прошел путь $s_1 = v_1 t$, а второй — путь $s_2 = v_2 t$.

Чтобы первый учащийся догнал второго, он должен преодолеть начальное расстояние между ними ($s_0$) и дополнительно тот путь, который за это же время пробежал второй учащийся ($s_2$). Математически это выражается так:

$s_1 = s_2 + s_0$

Из условия задачи известно, что к моменту встречи первый учащийся пробежал ровно $N = 4$ полных круга. Следовательно, пройденный им путь равен:

$s_1 = 4L$

Теперь мы можем связать пути обоих учащихся. Время их движения одинаково. Выразим время $t$ из данных о движении первого учащегося:

$t = \frac{s_1}{v_1} = \frac{4L}{v_1}$

Подставим это время в формулу для пути второго учащегося:

$s_2 = v_2 t = v_2 \cdot \frac{4L}{v_1}$

Теперь подставим выражения для $s_1$ и $s_2$ в исходное уравнение $s_1 = s_2 + s_0$:

$4L = \left(v_2 \frac{4L}{v_1}\right) + \frac{L}{2}$

Можно сократить $L$ в каждом члене уравнения, так как длина дорожки не равна нулю:

$4 = 4 \frac{v_2}{v_1} + \frac{1}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно искомого отношения скоростей. Сначала найдем отношение $\frac{v_2}{v_1}$:

$4 - \frac{1}{2} = 4 \frac{v_2}{v_1}$

$\frac{8}{2} - \frac{1}{2} = 4 \frac{v_2}{v_1}$

$\frac{7}{2} = 4 \frac{v_2}{v_1}$

$\frac{v_2}{v_1} = \frac{7}{2 \cdot 4} = \frac{7}{8}$

В задаче требуется найти отношение скорости первого учащегося к скорости второго, то есть $\frac{v_1}{v_2}$:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{v_2/v_1} = \frac{1}{7/8} = \frac{8}{7}$

Ответ: отношение модулей скоростей движения учащихся равно $\frac{v_1}{v_2} = \frac{8}{7}$.