Номер 111, страница 32 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Решение

Да, модуль скорости перемещения тела может быть переменным, даже если скорость пути (путевая скорость) постоянна. Это происходит при любом движении, траектория которого отличается от прямолинейной, или при прямолинейном движении с изменением направления.

Для начала, определим понятия. Скорость пути (или путевая скорость) — это скалярная величина, равная модулю мгновенной скорости тела, то есть скорость, с которой тело движется вдоль своей траектории. Она определяется как $v_{пут} = \frac{ds}{dt}$, где $s$ — это пройденный путь. По условию задачи, эта величина постоянна: $v_{пут} = \text{const}$.

Скорость перемещения — это векторная величина, которая определяется как отношение вектора перемещения $\Delta\vec{r}$ (вектора, соединяющего начальное и конечное положение тела) к промежутку времени $\Delta t$, за который это перемещение произошло. Эта величина также известна как средняя скорость: $\vec{v}_{ср} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$. Соответственно, модуль скорости перемещения — это $|\vec{v}_{ср}| = \frac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta t}$.

Поскольку скорость пути постоянна, пройденный путь за время $\Delta t$ можно найти как $s = v_{пут} \cdot \Delta t$. Выразим отсюда промежуток времени $\Delta t = \frac{s}{v_{пут}}$ и подставим в формулу для модуля скорости перемещения: $|\vec{v}_{ср}| = \frac{|\Delta\vec{r}|}{s / v_{пут}} = v_{пут} \cdot \frac{|\Delta\vec{r}|}{s}$

Из этой формулы видно, что модуль скорости перемещения будет постоянным и равным скорости пути только в том случае, если отношение $\frac{|\Delta\vec{r}|}{s}$ равно единице. Это выполняется только для прямолинейного движения без изменения направления, так как только в этом случае модуль перемещения $|\Delta\vec{r}|$ равен пройденному пути $s$. Во всех остальных случаях (криволинейное движение или движение с возвратом) модуль перемещения строго меньше пройденного пути: $|\Delta\vec{r}| < s$. При этом отношение $\frac{|\Delta\vec{r}|}{s}$ не постоянно и зависит от рассматриваемого промежутка движения, а значит, и модуль скорости перемещения будет переменным.

Примеры:

1. Равномерное движение по окружности. Представим, что автомобиль движется по круговой трассе радиусом $R$ с постоянной скоростью по спидометру $v$. За время, равное половине периода обращения, $t_{1/2} = \frac{\pi R}{v}$, автомобиль пройдет путь $s = \pi R$ (длина полуокружности) и окажется в диаметрально противоположной точке. Модуль его перемещения будет равен диаметру трассы: $|\Delta\vec{r}| = 2R$. Модуль скорости перемещения за это время составит: $|\vec{v}_{ср1}| = \frac{|\Delta\vec{r}|}{t_{1/2}} = \frac{2R}{\pi R / v} = \frac{2v}{\pi} \approx 0.64v$. Если же рассмотреть движение за полный оборот, то время движения будет $t_{full} = \frac{2\pi R}{v}$. Автомобиль вернется в исходную точку, поэтому его перемещение будет равно нулю: $|\Delta\vec{r}| = 0$. Модуль скорости перемещения за полный оборот также будет равен нулю: $|\vec{v}_{ср2}| = \frac{0}{t_{full}} = 0$. Так как $0 \ne \frac{2v}{\pi} \ne v$, очевидно, что модуль скорости перемещения является переменной величиной.

2. Движение по прямой "туда и обратно". Пусть пешеход идет по прямой дорожке от дома до магазина (расстояние $L$) и сразу же возвращается обратно. Допустим, его скорость пути постоянна и равна $v$. На пути до магазина, который занимает время $t_1 = L/v$, его перемещение равно $|\Delta\vec{r}_1| = L$. Модуль скорости перемещения: $|\vec{v}_{ср1}| = \frac{L}{L/v} = v$. Если рассмотреть весь маршрут (от дома до магазина и обратно), общее время составит $\Delta t = 2L/v$. Так как пешеход вернулся в исходную точку, его итоговое перемещение равно нулю: $|\Delta\vec{r}_{общ}| = 0$. Модуль скорости перемещения за все время движения: $|\vec{v}_{ср, общ}| = \frac{|\Delta\vec{r}_{общ}|}{\Delta t} = \frac{0}{2L/v} = 0$. Поскольку в разные промежутки времени модуль скорости перемещения принимал разные значения ($v$ и $0$), он является переменным.

Ответ: Да, модуль скорости перемещения тела может быть переменным, если скорость пути постоянна. Это происходит всегда, когда траектория движения не является прямой линией или когда тело на прямой меняет направление движения. В качестве примеров можно привести равномерное движение по окружности или движение по прямой с возвратом в исходную точку.