Номер 185, страница 45 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:
Модуль скорости корабля $v_1 = 25$ км/ч.
Модуль скорости ветра $v_2 = 15$ км/ч.
Угол, под которым дует ветер к экватору $\alpha = 60°$.

$v_1 = 25 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 25 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 6.94 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$v_2 = 15 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 15 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 4.17 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:
Модуль скорости ветра относительно корабля $v_{21}$.

Решение:
Скорость ветра относительно корабля $\vec{v}_{21}$ определяется как векторная разность скорости ветра $\vec{v}_2$ и скорости корабля $\vec{v}_1$ (обе скорости рассматриваются относительно Земли):

$\vec{v}_{21} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$

Модуль относительной скорости можно найти по теореме косинусов для векторов:

$v_{21} = |\vec{v}_{21}| = \sqrt{|\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2 - 2|\vec{v}_1||\vec{v}_2|\cos\theta} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2\cos\theta}$

где $\theta$ — угол между векторами скорости корабля $\vec{v}_1$ и скорости ветра $\vec{v}_2$.

Введем систему координат. Направим ось Ox вдоль экватора на восток, а ось Oy — на север.Корабль движется на восток, поэтому его вектор скорости $\vec{v}_1$ направлен вдоль оси Ox.

Ветер дует с юго-востока, это означает, что его вектор скорости $\vec{v}_2$ направлен на северо-запад. Угол между направлением ветра и экватором (осью Ox) составляет $\alpha = 60°$. Так как ветер дует на северо-запад, его вектор скорости находится во втором квадранте. Угол между вектором $\vec{v}_2$ и положительным направлением оси Ox (востоком) будет равен $\theta = 180° - \alpha = 180° - 60° = 120°$.

Теперь подставим известные значения в формулу для модуля относительной скорости. Для удобства будем производить вычисления в км/ч, так как все исходные данные в этих единицах.

$v_1 = 25$ км/ч
$v_2 = 15$ км/ч
$\theta = 120°$

$v_{21} = \sqrt{25^2 + 15^2 - 2 \cdot 25 \cdot 15 \cdot \cos(120°)}$

Значение косинуса $120°$ равно $-0.5$.

$v_{21} = \sqrt{625 + 225 - 2 \cdot 25 \cdot 15 \cdot (-0.5)}$
$v_{21} = \sqrt{850 - 750 \cdot (-0.5)}$
$v_{21} = \sqrt{850 + 375}$
$v_{21} = \sqrt{1225}$
$v_{21} = 35$ км/ч.

Ответ: модуль скорости ветра относительно корабля равен 35 км/ч.