Номер 186, страница 45 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Угол, под которым лодочник направляет лодку к течению, $\alpha = 60^\circ$
Угол, под которым лодка движется к берегу, $\beta = 30^\circ$
Модуль скорости течения воды, $v_1 = 0,5 \frac{м}{с}$

Найти:

$v_2$ - модуль скорости движения лодки относительно воды.

Решение:

Скорость лодки относительно берега (абсолютная скорость $\vec{v}$) является векторной суммой скорости лодки относительно воды (относительная скорость $\vec{v}_2$) и скорости течения воды (переносная скорость $\vec{v}_1$). Это выражается формулой сложения скоростей:
$\vec{v} = \vec{v}_2 + \vec{v}_1$
Данные три вектора скорости образуют треугольник. Чтобы найти неизвестную скорость $v_2$, воспользуемся геометрическим представлением и теоремой синусов.

Построим треугольник скоростей. Пусть вектор скорости течения $\vec{v}_1$ направлен по горизонтали. Из конца вектора $\vec{v}_1$ отложим вектор скорости лодки относительно воды $\vec{v}_2$. По условию, лодочник направляет лодку под углом $\alpha = 60^\circ$ к течению, значит, это угол между вектором $\vec{v}_2$ и горизонталью. Вектор $\vec{v}$, соединяющий начало вектора $\vec{v}_1$ и конец вектора $\vec{v}_2$, является результирующей скоростью лодки относительно берега. По условию, он составляет с берегом (горизонталью) угол $\beta = 30^\circ$.

Определим внутренние углы этого треугольника:
1. Угол при основании треугольника, где начинается вектор $\vec{v}_1$, равен углу результирующего движения, то есть $\beta = 30^\circ$. Этот угол противолежит стороне с модулем $v_2$.
2. Внутренний угол при вершине, где соединяются векторы $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$, смежный с углом $\alpha$. Он равен $180^\circ - \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Этот угол противолежит результирующей скорости $v$.
3. Третий угол треугольника, противолежащий стороне с модулем $v_1$, найдем из свойства о сумме углов треугольника: $180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.

Применим теорему синусов к полученному треугольнику, стороны которого равны модулям скоростей $v_1, v_2, v$:
$\frac{v_1}{\sin(30^\circ)} = \frac{v_2}{\sin(30^\circ)} = \frac{v}{\sin(120^\circ)}$
Из первого равенства $\frac{v_1}{\sin(30^\circ)} = \frac{v_2}{\sin(30^\circ)}$ следует, что $v_1 = v_2$. Это также очевидно из того, что треугольник является равнобедренным, так как два его угла равны $30^\circ$.
Поскольку по условию задачи модуль скорости течения воды $v_1 = 0,5 \frac{м}{с}$, то модуль скорости движения лодки относительно воды $v_2$ имеет такое же значение.
$v_2 = v_1 = 0,5 \frac{м}{с}$

Ответ: модуль скорости движения лодки относительно воды равен $0,5 \frac{м}{с}$.