Номер 183, страница 45 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Скорость вертолета относительно воздуха $v_1 = 108 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Направление скорости вертолета: на север.

Скорость ветра $v_2 = 10 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Направление ветра: северо-западный, под углом $\alpha = 45^\circ$ к меридиану.

$v_1 = 108 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 108 \cdot \frac{1000 \, \text{м}}{3600 \, \text{с}} = 30 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Модуль скорости вертолета относительно земли $v$ - ?

Курс вертолета $\beta$ - ?

Решение:

Результирующая скорость вертолета относительно земли ($\vec{v}$) является векторной суммой его скорости относительно воздуха ($\vec{v}_1$) и скорости самого воздуха (ветра) относительно земли ($\vec{v}_2$). Это следует из принципа относительности движения (закона сложения скоростей):

$\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$

Для решения задачи введем декартову систему координат. Направим ось OY на север, а ось OX – на восток. В этой системе координат вектор скорости вертолета относительно воздуха, направленный на север, имеет компоненты:

$\vec{v}_1 = (0; v_1)$

Северо-западный ветер дует с северо-запада на юго-восток. Угол $\alpha = 45^\circ$ к меридиану (линии север-юг) означает, что вектор скорости ветра $\vec{v}_2$ направлен под углом $45^\circ$ к направлению на юг в сторону востока. В выбранной системе координат это соответствует углу $-45^\circ$ относительно положительного направления оси OX. Найдем проекции вектора скорости ветра:

$v_{2x} = v_2 \cdot \cos(-45^\circ) = v_2 \cdot \cos(45^\circ) = v_2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

$v_{2y} = v_2 \cdot \sin(-45^\circ) = -v_2 \cdot \sin(45^\circ) = -v_2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Проекции результирующего вектора скорости $\vec{v}$ на оси координат равны сумме соответствующих проекций векторов $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$:

$v_x = v_{1x} + v_{2x} = 0 + v_2 \frac{\sqrt{2}}{2} = v_2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

$v_y = v_{1y} + v_{2y} = v_1 - v_2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим числовые значения в системе СИ ($v_1 = 30 \, \text{м/с}$, $v_2 = 10 \, \text{м/с}$):

$v_x = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_y = 30 - 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = (30 - 5\sqrt{2}) \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Модуль результирующей скорости $v$ (скорости вертолета относительно земли) найдем по теореме Пифагора:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (30 - 5\sqrt{2})^2} = \sqrt{50 + (900 - 300\sqrt{2} + 50)}$

$v = \sqrt{1000 - 300\sqrt{2}} \approx \sqrt{1000 - 300 \cdot 1.4142} = \sqrt{1000 - 424.26} = \sqrt{575.74} \approx 23.99 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Курс вертолета – это угол $\beta$, на который вектор его скорости $\vec{v}$ отклоняется от направления на север (оси OY). Так как проекция $v_x$ положительна, а $v_y$ также положительна ($30 - 5\sqrt{2} \approx 22.9 > 0$), отклонение будет в сторону востока. Найдем тангенс этого угла:

$\text{tg} \, \beta = \frac{v_x}{v_y} = \frac{5\sqrt{2}}{30 - 5\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{5(6 - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}}{6 - \sqrt{2}}$

Умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(6+\sqrt{2})$, получим:

$\text{tg} \, \beta = \frac{\sqrt{2}(6 + \sqrt{2})}{(6 - \sqrt{2})(6 + \sqrt{2})} = \frac{6\sqrt{2} + 2}{36 - 2} = \frac{6\sqrt{2} + 2}{34} = \frac{3\sqrt{2} + 1}{17} \approx 0.3084$

Отсюда находим угол $\beta$:

$\beta = \text{arctg}(0.3084) \approx 17.1^\circ$

Ответ:

Модуль скорости вертолета относительно земли составляет примерно $24.0 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$. Курс вертолета – под углом около $17.1^\circ$ к востоку от направления на север.