Номер 184, страница 45 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Время полета: $t = 2,0 \text{ ч}$

Путь: $s = 576 \text{ км}$

Направление полета относительно земли: строго на север

Скорость ветра: $v_1 = 18 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Направление ветра: северо-западный, под углом $\alpha = 60^\circ$ к меридиану

Перевод в систему СИ:

$t = 2,0 \text{ ч} = 2,0 \cdot 3600 \text{ с} = 7200 \text{ с}$

$s = 576 \text{ км} = 576 \cdot 1000 \text{ м} = 576000 \text{ м}$

$v_1 = 18 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{18 \cdot 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$v_a$ - модуль скорости самолета относительно воздуха

$\beta$ - направление полета самолета относительно меридиана (угол с меридианом)

Решение:

Скорость самолета относительно земли ($\vec{v}$) является векторной суммой его скорости относительно воздуха ($\vec{v_a}$) и скорости ветра относительно земли ($\vec{v_1}$):

$\vec{v} = \vec{v_a} + \vec{v_1}$

Для решения задачи введем декартову систему координат: ось OY направим на север (вдоль меридиана), а ось OX — на восток. Все вычисления будем производить в км/ч, так как это упрощает расчеты.

1. Сначала определим модуль и направление скорости самолета относительно земли. Самолет должен пролететь $s = 576 \text{ км}$ строго на север за время $t = 2,0 \text{ ч}$.

$v = \frac{s}{t} = \frac{576 \text{ км}}{2,0 \text{ ч}} = 288 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Так как движение происходит строго на север, вектор скорости $\vec{v}$ направлен вдоль оси OY. Его компоненты: $\vec{v} = (0; v) = (0; 288)$.

2. Теперь определим компоненты вектора скорости ветра $\vec{v_1}$. Северо-западный ветер дует с северо-запада на юго-восток. Это означает, что его вектор скорости направлен в IV координатную четверть. Угол $\alpha = 60^\circ$ к меридиану означает, что вектор скорости ветра составляет угол $60^\circ$ с южным направлением (отрицательной частью оси OY). Тогда проекции скорости ветра на оси координат будут:

$v_{1x} = v_1 \sin\alpha = 18 \cdot \sin 60^\circ = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

$v_{1y} = -v_1 \cos\alpha = -18 \cdot \cos 60^\circ = -18 \cdot \frac{1}{2} = -9 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Итак, вектор скорости ветра: $\vec{v_1} = (9\sqrt{3}; -9)$.

3. Обозначим искомые величины. Пусть $v_a$ — это модуль скорости самолета относительно воздуха, а $\beta$ — угол, который составляет вектор $\vec{v_a}$ с направлением на север (ось OY). Чтобы конечная скорость была направлена на север, самолет должен компенсировать снос ветром на юго-восток, а значит, его собственный курс должен быть направлен на северо-запад. Таким образом, вектор $\vec{v_a}$ находится во II координатной четверти. Его компоненты:

$v_{ax} = -v_a \sin\beta$

$v_{ay} = v_a \cos\beta$

4. Подставим компоненты векторов в основное векторное уравнение $\vec{v} = \vec{v_a} + \vec{v_1}$:

Проекция на ось OX: $v_x = v_{ax} + v_{1x} \implies 0 = -v_a \sin\beta + 9\sqrt{3}$

Проекция на ось OY: $v_y = v_{ay} + v_{1y} \implies 288 = v_a \cos\beta - 9$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $v_a$ и $\beta$:

1) $v_a \sin\beta = 9\sqrt{3}$

2) $v_a \cos\beta = 288 + 9 = 297$

5. Решим полученную систему. Для нахождения модуля скорости $v_a$ возведем оба уравнения в квадрат и сложим их:

$(v_a \sin\beta)^2 + (v_a \cos\beta)^2 = (9\sqrt{3})^2 + 297^2$

$v_a^2 (\sin^2\beta + \cos^2\beta) = 81 \cdot 3 + 88209$

$v_a^2 = 243 + 88209 = 88452$

$v_a = \sqrt{88452} \approx 297,408 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Для нахождения угла $\beta$ разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{v_a \sin\beta}{v_a \cos\beta} = \tan\beta = \frac{9\sqrt{3}}{297} = \frac{\sqrt{3}}{33}$

$\beta = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{33}\right) \approx \arctan(0,05248) \approx 3,006^\circ$

6. Округлим полученные значения. В исходных данных величины $t = 2,0$ ч и $v_1 = 18$ км/ч заданы с точностью до двух значащих цифр. Поэтому и результат целесообразно представить с такой же точностью.

$v_a \approx 3,0 \cdot 10^2 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

$\beta \approx 3,0^\circ$

Угол $\beta$ представляет собой отклонение курса самолета от северного направления к западу.

Ответ: модуль скорости полета самолета относительно воздуха равен примерно $3,0 \cdot 10^2 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$, а направление его полета должно быть под углом около $3,0^\circ$ к меридиану в сторону запада.