Номер 205, страница 50 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Начальная скорость первого автомобиля $v_{0} = 6,0 \frac{м}{с}$

Ускорение первого автомобиля $a_1 = 0,50 \frac{м}{с^2}$

Начальная скорость второго автомобиля $v_{02} = 0 \frac{м}{с}$

Ускорение второго автомобиля $a_2 = 1,5 \frac{м}{с^2}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) $t_v$ — время, через которое скорости автомобилей будут одинаковы.

б) $t_s$ — время, через которое автомобили пройдут одинаковые пути.

Решение:

Оба автомобиля движутся прямолинейно и равноускоренно. Запишем уравнения для скорости и пройденного пути для каждого автомобиля.

Уравнение скорости для равноускоренного движения: $v(t) = v_{начальная} + at$.

Уравнение пути для равноускоренного движения: $s(t) = v_{начальная} t + \frac{at^2}{2}$.

Для первого автомобиля:

Скорость: $v_1(t) = v_{0} + a_1 t$

Путь: $s_1(t) = v_{0} t + \frac{a_1 t^2}{2}$

Для второго автомобиля (движение из состояния покоя, $v_{02} = 0$):

Скорость: $v_2(t) = a_2 t$

Путь: $s_2(t) = \frac{a_2 t^2}{2}$

а) Чтобы найти время, через которое скорости автомобилей станут равны, приравняем выражения для скоростей $v_1(t)$ и $v_2(t)$:

$v_1(t_v) = v_2(t_v)$

$v_{0} + a_1 t_v = a_2 t_v$

Сгруппируем члены с $t_v$ и выразим время:

$v_{0} = a_2 t_v - a_1 t_v$

$v_{0} = (a_2 - a_1) t_v$

$t_v = \frac{v_{0}}{a_2 - a_1}$

Подставим числовые значения:

$t_v = \frac{6,0 \frac{м}{с}}{1,5 \frac{м}{с^2} - 0,50 \frac{м}{с^2}} = \frac{6,0}{1,0} \text{ с} = 6,0 \text{ с}$

Ответ: автомобили будут иметь одинаковые скорости через 6,0 с.

б) Чтобы найти время, через которое автомобили пройдут одинаковые пути, приравняем выражения для путей $s_1(t)$ и $s_2(t)$:

$s_1(t_s) = s_2(t_s)$

$v_{0} t_s + \frac{a_1 t_s^2}{2} = \frac{a_2 t_s^2}{2}$

Перенесем все члены с $t_s^2$ в одну сторону:

$v_{0} t_s = \frac{a_2 t_s^2}{2} - \frac{a_1 t_s^2}{2}$

$v_{0} t_s = \frac{(a_2 - a_1) t_s^2}{2}$

Это уравнение имеет два решения. Первое, $t_s = 0$, соответствует начальному моменту времени, когда оба автомобиля находились в исходной точке и их пути были равны нулю. Нас интересует второе, нетривиальное решение.

Для $t_s \neq 0$ можно разделить обе части уравнения на $t_s$:

$v_{0} = \frac{(a_2 - a_1) t_s}{2}$

Выразим время $t_s$:

$t_s = \frac{2 v_{0}}{a_2 - a_1}$

Подставим числовые значения:

$t_s = \frac{2 \cdot 6,0 \frac{м}{с}}{1,5 \frac{м}{с^2} - 0,50 \frac{м}{с^2}} = \frac{12}{1,0} \text{ с} = 12 \text{ с}$

Ответ: автомобили пройдут одинаковые пути через 12 с.