Номер 266, страница 64 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

График зависимости проекции скорости $v_x$ от времени $t$.

Начальная координата $x_0 = x(0) = 0$ м.

Все данные на графике представлены в системе СИ (м/с и с).

Найти:

1. График зависимости проекции ускорения от времени $a_x(t)$.

2. График зависимости координаты от времени $x(t)$.

3. Проекцию перемещения $s_x$ за время $t = 8,0$ с.

4. Пройденный путь $L$ за время $t = 8,0$ с.

Решение:

Движение лисенка можно разбить на шесть участков, анализируя график $v_x(t)$.

Постройте графики зависимости проекции на ось Ох ускорения и координаты лисенка от времени.

1. График зависимости проекции ускорения от времени $a_x(t)$

Проекция ускорения $a_x$ на каждом участке с постоянной скоростью или постоянным ускорением определяется как тангенс угла наклона графика $v_x(t)$, то есть по формуле $a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}$.

Участок 1 (0 с – 1,0 с): Движение равноускоренное.

$a_{x1} = \frac{2,0 \, \text{м/с} - 0 \, \text{м/с}}{1,0 \, \text{с} - 0 \, \text{с}} = 2,0 \, \text{м/с}^2$.

Участок 2 (1,0 с – 2,0 с): Скорость постоянна ($v_x = 2,0$ м/с), движение равномерное.

$a_{x2} = 0 \, \text{м/с}^2$.

Участок 3 (2,0 с – 4,0 с): Движение равноускоренное.

$a_{x3} = \frac{-2,0 \, \text{м/с} - 2,0 \, \text{м/с}}{4,0 \, \text{с} - 2,0 \, \text{с}} = \frac{-4,0 \, \text{м/с}}{2,0 \, \text{с}} = -2,0 \, \text{м/с}^2$.

Участок 4 (4,0 с – 5,0 с): Скорость постоянна ($v_x = -2,0$ м/с), движение равномерное.

$a_{x4} = 0 \, \text{м/с}^2$.

Участок 5 (5,0 с – 7,0 с): Движение равноускоренное.

$a_{x5} = \frac{2,0 \, \text{м/с} - (-2,0 \, \text{м/с})}{7,0 \, \text{с} - 5,0 \, \text{с}} = \frac{4,0 \, \text{м/с}}{2,0 \, \text{с}} = 2,0 \, \text{м/с}^2$.

Участок 6 (7,0 с – 8,0 с): Скорость постоянна ($v_x = 2,0$ м/с), движение равномерное.

$a_{x6} = 0 \, \text{м/с}^2$.

График $a_x(t)$ представляет собой ступенчатую линию. На оси ординат откладывается $a_x$ (в м/с²), на оси абсцисс — $t$ (в с). График состоит из горизонтальных отрезков на уровнях, рассчитанных выше, для соответствующих интервалов времени.

2. График зависимости координаты от времени $x(t)$

Координата тела в любой момент времени определяется по формуле $x(t) = x_{нач} + s_x(t)$, где $s_x(t)$ — проекция перемещения, равная площади фигуры под графиком $v_x(t)$ от начального момента до момента $t$. Начальная координата $x_0 = 0$.

Участок 1 (0 с – 1,0 с): Движение равноускоренное. $x(t) = x_0 + \frac{a_{x1} t^2}{2} = t^2$. График — парабола, ветви вверх.

$x(1,0) = 1,0^2 = 1,0$ м.

Участок 2 (1,0 с – 2,0 с): Движение равномерное. $x(t) = x(1,0) + v_{x2}(t - 1,0) = 1,0 + 2,0(t - 1,0)$. График — прямая линия.

$x(2,0) = 1,0 + 2,0(2,0 - 1,0) = 3,0$ м.

Участок 3 (2,0 с – 4,0 с): Движение равноускоренное. $x(t) = x(2,0) + v_x(2,0)(t-2,0) + \frac{a_{x3}(t-2,0)^2}{2} = 3,0 + 2,0(t-2,0) - 1,0(t-2,0)^2$. График — парабола, ветви вниз.

$x(3,0) = 3,0 + 2,0(1,0) - 1,0(1,0)^2 = 4,0$ м (вершина параболы, т.к. $v_x(3,0)=0$).

$x(4,0) = 3,0 + 2,0(2,0) - 1,0(2,0)^2 = 3,0$ м.

Участок 4 (4,0 с – 5,0 с): Движение равномерное. $x(t) = x(4,0) + v_{x4}(t - 4,0) = 3,0 - 2,0(t - 4,0)$. График — прямая линия.

$x(5,0) = 3,0 - 2,0(5,0 - 4,0) = 1,0$ м.

Участок 5 (5,0 с – 7,0 с): Движение равноускоренное. $x(t) = x(5,0) + v_x(5,0)(t-5,0) + \frac{a_{x5}(t-5,0)^2}{2} = 1,0 - 2,0(t-5,0) + 1,0(t-5,0)^2$. График — парабола, ветви вверх.

$x(6,0) = 1,0 - 2,0(1,0) + 1,0(1,0)^2 = 0$ м (вершина параболы, т.к. $v_x(6,0)=0$).

$x(7,0) = 1,0 - 2,0(2,0) + 1,0(2,0)^2 = 1,0$ м.

Участок 6 (7,0 с – 8,0 с): Движение равномерное. $x(t) = x(7,0) + v_{x6}(t - 7,0) = 1,0 + 2,0(t-7,0)$. График — прямая линия.

$x(8,0) = 1,0 + 2,0(8,0 - 7,0) = 3,0$ м.

График $x(t)$ представляет собой кривую, состоящую из отрезков парабол и прямых, соединяющих вычисленные точки: (0; 0), (1; 1), (2; 3), (3; 4), (4; 3), (5; 1), (6; 0), (7; 1), (8; 3).

Ответ: Графики $a_x(t)$ и $x(t)$ строятся по вычисленным выше значениям. График $a_x(t)$ является ступенчатым, а график $x(t)$ — непрерывной линией, состоящей из параболических и прямолинейных участков.

Чему равны проекция перемещения лисенка и пройденный им путь за время t = 8,0 с?

1. Проекция перемещения $s_x$ за 8,0 с.

Проекция перемещения равна разности конечной и начальной координат: $s_x = x(t_{конеч}) - x(t_{нач})$.

$s_x = x(8,0) - x(0) = 3,0 \, \text{м} - 0 \, \text{м} = 3,0 \, \text{м}$.

Также проекцию перемещения можно найти как алгебраическую сумму площадей фигур под графиком $v_x(t)$.

$s_x = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5$, где $S_i$ — площади трапеций (или треугольников и прямоугольников) на соответствующих временных интервалах.

$S_{0-3} = \frac{2,0+1,0}{2} \cdot 1,0 + \frac{2,0+0}{2} \cdot 1,0 = 1,5 + 1,0 = 2,5$ (неправильно посчитал, пересчитаю по фигурам) $S_{0-2} = \frac{2,0+0}{2} \cdot 1,0 + 2,0 \cdot 1,0 = 1,0 + 2,0 = 3,0$ м.

$S_{2-4} = \frac{2,0+(-2,0)}{2} \cdot 2,0 = 0$ м. (трапеция)

$S_{4-5} = -2,0 \cdot 1,0 = -2,0$ м.

$S_{5-7} = \frac{-2,0+2,0}{2} \cdot 2,0 = 0$ м. (трапеция)

$S_{7-8} = 2,0 \cdot 1,0 = 2,0$ м.

$s_x = (1,0+2,0) + (\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2,0 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (-2,0)) + (-2,0 \cdot 1,0) + (\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (-2,0) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2,0) + (2,0 \cdot 1,0) = 3,0 + 0 - 2,0 + 0 + 2,0 = 3,0$ м. Расчет по площадям подтверждает результат.

2. Пройденный путь $L$ за 8,0 с.

Пройденный путь — это сумма длин всех участков пути, пройденных лисенком. Он равен сумме абсолютных значений (модулей) площадей фигур под графиком $v_x(t)$.

Движение в положительном направлении ($v_x > 0$): интервалы (0; 3) с и (6; 8) с.

Движение в отрицательном направлении ($v_x < 0$): интервал (3; 6) с.

$L_1 = |x(3,0) - x(0)| = |4,0 - 0| = 4,0$ м.

$L_2 = |x(6,0) - x(3,0)| = |0 - 4,0| = 4,0$ м.

$L_3 = |x(8,0) - x(6,0)| = |3,0 - 0| = 3,0$ м.

Общий путь: $L = L_1 + L_2 + L_3 = 4,0 \, \text{м} + 4,0 \, \text{м} + 3,0 \, \text{м} = 11,0 \, \text{м}$.

Ответ: Проекция перемещения за 8,0 с равна $s_x = 3,0$ м, а пройденный путь $L = 11,0$ м.