Номер 261, страница 61 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

а

Дано:
Из графика (рис. 60, а):
Участок 1 ($0 \le t < 4$ с): $a_{x1} = -1 \text{ м/с}^2$
Участок 2 ($4 \le t < 5$ с): $a_{x2} = 0 \text{ м/с}^2$
Участок 3 ($5 \le t \le 8$ с): $a_{x3} = 2 \text{ м/с}^2$
В момент времени $t_{ref} = 5,0$ с:
Проекция скорости $v_x(5) = -2,0 \text{ м/с}$
Координата $x(5) = 1 \text{ м}$

Найти:
Построить графики $v_x(t)$ и $x(t)$.

Решение:
Движение на каждом участке является равноускоренным. Мы знаем состояние шмеля в момент времени $t=5$ с. Будем использовать эти данные как начальные для третьего участка и как конечные для второго, чтобы "восстановить" движение на всех интервалах времени.

Участок 3 (5 с ≤ t ≤ 8 с):
Начальные условия для этого участка (при $t_0 = 5$ с): $v_{0x} = v_x(5) = -2 \text{ м/с}$ и $x_0 = x(5) = 1 \text{ м}$. Ускорение $a_{x3} = 2 \text{ м/с}^2$.
Закон изменения скорости: $v_x(t) = v_{0x} + a_{x3}(t - t_0) = -2 + 2(t - 5)$.
В конце участка при $t = 8$ с: $v_x(8) = -2 + 2(8 - 5) = -2 + 6 = 4 \text{ м/с}$.
Закон движения (координаты): $x(t) = x_0 + v_{0x}(t - t_0) + \frac{a_{x3}(t-t_0)^2}{2} = 1 - 2(t-5) + \frac{2(t-5)^2}{2} = 1 - 2(t-5) + (t-5)^2$.
В конце участка при $t = 8$ с: $x(8) = 1 - 2(8-5) + (8-5)^2 = 1 - 6 + 9 = 4 \text{ м}$.

Участок 2 (4 с ≤ t < 5 с):
На этом участке ускорение $a_{x2} = 0$, движение равномерное. Скорость постоянна, следовательно, $v_x(4) = v_x(5) = -2 \text{ м/с}$.
Найдем координату в момент $t=4$ с, зная, что $x(5)=1$ м: $x(5) = x(4) + v_x(4)(5-4)$.
$1 = x(4) + (-2) \cdot 1 \implies x(4) = 3 \text{ м}$.

Участок 1 (0 с ≤ t < 4 с):
На этом участке ускорение $a_{x1} = -1 \text{ м/с}^2$. Используем найденные значения при $t=4$ с как конечные для этого участка.
Найдем скорость в момент $t=0$ с: $v_x(4) = v_x(0) + a_{x1}(4-0)$.
$-2 = v_x(0) + (-1) \cdot 4 \implies v_x(0) = 2 \text{ м/с}$.
Найдем координату в момент $t=0$ с: $x(4) = x(0) + v_x(0)(4-0) + \frac{a_{x1}(4-0)^2}{2}$.
$3 = x(0) + 2 \cdot 4 + \frac{-1 \cdot 4^2}{2} = x(0) + 8 - 8 \implies x(0) = 3 \text{ м}$.

Теперь мы можем записать уравнения движения для всех участков, начиная с $t=0$:
Для графика $v_x(t)$:
1. $0 \le t < 4$ с: $v_x(t) = 2 - t$. График - прямая, убывающая от 2 м/с до $v_x(4) = -2$ м/с.
2. $4 \le t < 5$ с: $v_x(t) = -2$. График - горизонтальная прямая.
3. $5 \le t \le 8$ с: $v_x(t) = -2 + 2(t-5)$. График - прямая, возрастающая от -2 м/с до $v_x(8) = 4$ м/с.
Для графика $x(t)$:
1. $0 \le t < 4$ с: $x(t) = 3 + 2t - \frac{t^2}{2}$. График - парабола ветвями вниз. Начинается в $x(0)=3$ м, достигает вершины при $t=2$ с ($v_x=0$) в точке $x(2)=5$ м и заканчивается в $x(4)=3$ м.
2. $4 \le t < 5$ с: $x(t) = 3 - 2(t-4)$. График - прямая, убывающая от $x(4)=3$ м до $x(5)=1$ м.
3. $5 \le t \le 8$ с: $x(t) = 1 - 2(t-5) + (t-5)^2$. График - парабола ветвями вверх. Начинается в $x(5)=1$ м, достигает вершины (минимума) при $t=6$ с ($v_x=0$) в точке $x(6)=0$ м и заканчивается в $x(8)=4$ м.

Ответ: Для построения графиков используются следующие уравнения и ключевые точки:
График $v_x(t)$: отрезок прямой от $(0, 2)$ до $(4, -2)$, затем горизонтальный отрезок до $(5, -2)$, затем отрезок прямой до $(8, 4)$.
График $x(t)$: ветвь параболы от $(0, 3)$ через максимум $(2, 5)$ до $(4, 3)$, затем отрезок прямой до $(5, 1)$, затем ветвь параболы через минимум $(6, 0)$ до $(8, 4)$.

б

Дано:
Из графика (рис. 60, б):
Участок 1 ($0 \le t < 2$ с): $a_{x1} = 0 \text{ м/с}^2$
Участок 2 ($2 \le t < 5$ с): $a_{x2} = -1 \text{ м/с}^2$
Участок 3 ($5 \le t \le 8$ с): $a_{x3} = 2 \text{ м/с}^2$
В момент времени $t_{ref} = 5,0$ с:
Проекция скорости $v_x(5) = -2,0 \text{ м/с}$
Координата $x(5) = 1 \text{ м}$

Найти:
Построить графики $v_x(t)$ и $x(t)$.

Решение:
Аналогично предыдущему пункту, определим параметры движения на каждом участке, двигаясь от известного момента времени $t=5$ с.

Участок 3 (5 с ≤ t ≤ 8 с):
Этот участок полностью идентичен участку 3 из пункта "а", так как начальные условия ($t=5$ с) и ускорение ($a_{x3} = 2 \text{ м/с}^2$) совпадают.
$v_x(t) = -2 + 2(t-5)$, $v_x(8) = 4 \text{ м/с}$.
$x(t) = 1 - 2(t-5) + (t-5)^2$, $x(8) = 4 \text{ м}$.

Участок 2 (2 с ≤ t < 5 с):
На этом участке ускорение $a_{x2} = -1 \text{ м/с}^2$. Используем значения при $t=5$ с как конечные для этого участка, чтобы найти значения при $t=2$ с.
Найдем скорость в момент $t=2$ с: $v_x(5) = v_x(2) + a_{x2}(5-2)$.
$-2 = v_x(2) + (-1) \cdot 3 \implies v_x(2) = 1 \text{ м/с}$.
Найдем координату в момент $t=2$ с: $x(5) = x(2) + v_x(2)(5-2) + \frac{a_{x2}(5-2)^2}{2}$.
$1 = x(2) + 1 \cdot 3 + \frac{-1 \cdot 3^2}{2} = x(2) + 3 - 4.5 = x(2) - 1.5 \implies x(2) = 2.5 \text{ м}$.

Участок 1 (0 с ≤ t < 2 с):
На этом участке ускорение $a_{x1} = 0$, движение равномерное. Скорость постоянна, следовательно, $v_x(0) = v_x(2) = 1 \text{ м/с}$.
Найдем координату в момент $t=0$ с, зная, что $x(2)=2.5$ м: $x(2) = x(0) + v_x(0)(2-0)$.
$2.5 = x(0) + 1 \cdot 2 \implies x(0) = 0.5 \text{ м}$.

Теперь мы можем записать уравнения движения для всех участков, начиная с $t=0$:
Для графика $v_x(t)$:
1. $0 \le t < 2$ с: $v_x(t) = 1$. График - горизонтальная прямая.
2. $2 \le t < 5$ с: $v_x(t) = 1 - (t-2)$. График - прямая, убывающая от $v_x(2)=1$ м/с до $v_x(5)=-2$ м/с.
3. $5 \le t \le 8$ с: $v_x(t) = -2 + 2(t-5)$. График - прямая, возрастающая от -2 м/с до $v_x(8)=4$ м/с.
Для графика $x(t)$:
1. $0 \le t < 2$ с: $x(t) = 0.5 + t$. График - прямая, возрастающая от $x(0)=0.5$ м до $x(2)=2.5$ м.
2. $2 \le t < 5$ с: $x(t) = 2.5 + (t-2) - \frac{(t-2)^2}{2}$. График - парабола ветвями вниз. Начинается в $x(2)=2.5$ м, достигает вершины при $t=3$ с ($v_x=0$) в точке $x(3)=3$ м и заканчивается в $x(5)=1$ м.
3. $5 \le t \le 8$ с: $x(t) = 1 - 2(t-5) + (t-5)^2$. График - парабола ветвями вверх. Начинается в $x(5)=1$ м, достигает минимума при $t=6$ с в точке $x(6)=0$ м и заканчивается в $x(8)=4$ м.

Ответ: Для построения графиков используются следующие уравнения и ключевые точки:
График $v_x(t)$: горизонтальный отрезок от $(0, 1)$ до $(2, 1)$, затем отрезок прямой до $(5, -2)$, затем отрезок прямой до $(8, 4)$.
График $x(t)$: отрезок прямой от $(0, 0.5)$ до $(2, 2.5)$, затем ветвь параболы через максимум $(3, 3)$ до $(5, 1)$, затем ветвь параболы через минимум $(6, 0)$ до $(8, 4)$.