Номер 254, страница 59 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:
Уравнение проекции скорости: $v_x = A + Bt$
$A = 8,0 \frac{м}{с}$
$B = -4,0 \frac{м}{с^2}$
Начальная координата: $x_0 = 1,0 \text{ м}$

Найти:
а) $v_{0x}$, $a_x$ - ?
б) Графики $v_x(t)$, $a_x(t)$
в) $x(t)$, $\Delta r_x(t)$ - ?
г) $x(t=2,0 \text{ с})$ - ?
д) $\Delta r_x(t=5,0 \text{ с})$, $L(t=5,0 \text{ с})$ - ?
е) Графики $x(t)$, $\Delta r_x(t)$, $L(t)$

Решение:

а) Чему равны проекции начальной скорости и ускорения движения кольца на ось Ox?
Общий вид уравнения для проекции скорости при равноускоренном движении: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$.
Сравнивая это уравнение с данным в условии $v_x = A + Bt$, мы можем определить проекцию начальной скорости $v_{0x}$ и проекцию ускорения $a_x$.
Проекция начальной скорости (при $t=0$) равна коэффициенту $A$:
$v_{0x} = A = 8,0 \frac{м}{с}$.
Проекция ускорения равна коэффициенту $B$:
$a_x = B = -4,0 \frac{м}{с^2}$.
Движение является равнозамедленным, так как проекция ускорения имеет знак, противоположный знаку проекции начальной скорости.
Ответ: Проекция начальной скорости $v_{0x} = 8,0 \frac{м}{с}$, проекция ускорения $a_x = -4,0 \frac{м}{с^2}$.

б) Постройте графики проекций скорости и ускорения.
График проекции ускорения $a_x(t)$: так как ускорение постоянно и равно $-4,0 \frac{м}{с^2}$, его график — это прямая линия, параллельная оси времени $t$ и проходящая через ординату $a_x = -4,0$.
График проекции скорости $v_x(t)$: зависимость $v_x(t) = 8,0 - 4,0t$ является линейной. Для построения прямой достаточно двух точек:
При $t=0 \text{ с}$, $v_x = 8,0 - 4,0 \cdot 0 = 8,0 \frac{м}{с}$. Точка (0; 8,0).
При $t=2,0 \text{ с}$, $v_x = 8,0 - 4,0 \cdot 2,0 = 0 \frac{м}{с}$. Точка (2,0; 0).
График — это прямая линия, проходящая через эти две точки.
Ответ: График $a_x(t)$ — горизонтальная прямая $a_x = -4,0$. График $v_x(t)$ — прямая линия, проходящая через точки $(0; 8,0)$ и $(2,0; 0)$.

в) Запишите кинематический закон движения и уравнение проекции перемещения.
Кинематический закон движения (уравнение координаты) для равноускоренного движения имеет вид: $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$.
Подставим известные значения $x_0 = 1,0 \text{ м}$, $v_{0x} = 8,0 \frac{м}{с}$ и $a_x = -4,0 \frac{м}{с^2}$:
$x(t) = 1,0 + 8,0t + \frac{(-4,0) t^2}{2} = 1,0 + 8,0t - 2,0t^2$.
Уравнение проекции перемещения $\Delta r_x(t)$ получается из уравнения координаты вычитанием начальной координаты $x_0$, или по формуле $\Delta r_x(t) = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$:
$\Delta r_x(t) = 8,0t - 2,0t^2$.
Ответ: Кинематический закон движения: $x(t) = 1,0 + 8,0t - 2,0t^2$. Уравнение проекции перемещения: $\Delta r_x(t) = 8,0t - 2,0t^2$. (Координаты в метрах, время в секундах).

г) Определите координату кольца в момент времени t = 2,0 с.
Используем полученный в пункте (в) кинематический закон движения: $x(t) = 1,0 + 8,0t - 2,0t^2$.
Подставим $t = 2,0 \text{ с}$:
$x(2,0) = 1,0 + 8,0 \cdot 2,0 - 2,0 \cdot (2,0)^2 = 1,0 + 16,0 - 2,0 \cdot 4,0 = 1,0 + 16,0 - 8,0 = 9,0 \text{ м}$.
Ответ: Координата кольца в момент времени $t=2,0 \text{ с}$ равна $x = 9,0 \text{ м}$.

д) Определите проекцию перемещения кольца и путь, пройденный кольцом за время t = 5,0 с.
Для нахождения проекции перемещения используем соответствующее уравнение из пункта (в): $\Delta r_x(t) = 8,0t - 2,0t^2$.
Подставим $t = 5,0 \text{ с}$:
$\Delta r_x(5,0) = 8,0 \cdot 5,0 - 2,0 \cdot (5,0)^2 = 40,0 - 2,0 \cdot 25,0 = 40,0 - 50,0 = -10,0 \text{ м}$.
Для нахождения пути $L$ необходимо учесть, что кольцо могло менять направление движения. Момент смены направления соответствует $v_x=0$.
$v_x(t) = 8,0 - 4,0t = 0 \implies t = \frac{8,0}{4,0} = 2,0 \text{ с}$.
Так как $t=2,0 \text{ с}$ находится внутри интервала от 0 до 5,0 с, путь будет равен сумме модулей перемещений на двух участках: от $t_0=0$ до $t_1=2,0 \text{ с}$ и от $t_1=2,0 \text{ с}$ до $t_2=5,0 \text{ с}$.
Найдем координаты в эти моменты времени:
$x(0) = x_0 = 1,0 \text{ м}$.
$x(2,0) = 9,0 \text{ м}$ (из пункта г).
$x(5,0) = 1,0 + 8,0 \cdot 5,0 - 2,0 \cdot (5,0)^2 = 1,0 + 40,0 - 50,0 = -9,0 \text{ м}$.
Путь на первом участке: $L_1 = |x(2,0) - x(0)| = |9,0 - 1,0| = 8,0 \text{ м}$.
Путь на втором участке: $L_2 = |x(5,0) - x(2,0)| = |-9,0 - 9,0| = |-18,0| = 18,0 \text{ м}$.
Общий путь: $L = L_1 + L_2 = 8,0 \text{ м} + 18,0 \text{ м} = 26,0 \text{ м}$.
Ответ: Проекция перемещения за 5,0 с равна $-10,0 \text{ м}$, путь за это же время равен $26,0 \text{ м}$.

е) Постройте графики координаты, проекции перемещения и пути.
График координаты $x(t) = 1,0 + 8,0t - 2,0t^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $t^2$ отрицательный). Вершина параболы находится в точке смены направления движения $t=2,0 \text{ с}$, где координата $x=9,0 \text{ м}$. График начинается в точке $(0; 1,0)$.
График проекции перемещения $\Delta r_x(t) = 8,0t - 2,0t^2$ — также парабола с ветвями вниз, но проходящая через начало координат $(0; 0)$. Вершина находится в точке $(2,0; 8,0)$.
График пути $L(t)$ — более сложная функция. На интервале времени $t \in [0; 2,0 \text{ с}]$, когда $v_x \ge 0$, путь равен перемещению, т.е. $L(t) = \Delta r_x(t) = 8,0t - 2,0t^2$. На этом участке график пути совпадает с графиком проекции перемещения. При $t > 2,0 \text{ с}$ тело движется в обратную сторону, и путь продолжает расти. График пути $L(t)$ представляет собой два состыкованных параболических сегмента. В точке $(2,0; 8,0)$ происходит плавный излом: касательная к графику в этой точке горизонтальна, так как мгновенная скорость равна нулю.
Ответ: График $x(t)$ — парабола с вершиной в $(2,0; 9,0)$, ветвями вниз, пересекает ось y в точке $(0; 1,0)$. График $\Delta r_x(t)$ — парабола с вершиной в $(2,0; 8,0)$, ветвями вниз, проходит через начало координат. График $L(t)$ — кривая, состоящая из двух параболических участков, состыкованных в точке $(2,0; 8,0)$, где касательная горизонтальна.