Номер 260, страница 61 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

График зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$.

Начальная координата $x_0 = 100$ м.

Все величины на графике и в условии представлены в системе СИ.

Найти:

График проекции ускорения $a_x(t)$.

График координаты $x(t)$.

Решение:

Проанализируем движение автомобиля, разбив его на четыре участка, соответствующие разным видам движения, согласно графику $v_x(t)$.

1. Участок 1: $t \in [0; 2]$ с.

На этом интервале времени проекция скорости постоянна: $v_{x1} = 20$ м/с. Движение равномерное прямолинейное.

2. Участок 2: $t \in [2; 3]$ с.

На этом интервале времени проекция скорости линейно уменьшается с $20$ м/с до $10$ м/с. Движение равноускоренное (в данном случае равнозамедленное).

3. Участок 3: $t \in [3; 4]$ с.

На этом интервале времени проекция скорости линейно увеличивается с $10$ м/с до $15$ м/с. Движение равноускоренное.

4. Участок 4: $t \in [4; 5]$ с.

На этом интервале времени проекция скорости снова постоянна: $v_{x4} = 15$ м/с. Движение равномерное прямолинейное.

Теперь на основе этого анализа построим требуемые графики.

График проекции ускорения

Проекция ускорения $a_x$ находится как тангенс угла наклона графика $v_x(t)$ к оси времени, то есть $a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}$.

1. На участке $t \in [0; 2]$ с скорость постоянна, следовательно, ускорение равно нулю: $a_{x1} = 0$ м/с².

2. На участке $t \in [2; 3]$ с ускорение постоянно и равно:$a_{x2} = \frac{10 \text{ м/с} - 20 \text{ м/с}}{3 \text{ с} - 2 \text{ с}} = \frac{-10 \text{ м/с}}{1 \text{ с}} = -10$ м/с².

3. На участке $t \in [3; 4]$ с ускорение постоянно и равно:$a_{x3} = \frac{15 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с}}{4 \text{ с} - 3 \text{ с}} = \frac{5 \text{ м/с}}{1 \text{ с}} = 5$ м/с².

4. На участке $t \in [4; 5]$ с скорость постоянна, следовательно, ускорение равно нулю: $a_{x4} = 0$ м/с².

График $a_x(t)$ будет ступенчатым.

Ответ: График $a_x(t)$ представляет собой ступенчатую функцию:
при $t \in [0; 2)$ с, $a_x = 0$ м/с²;
при $t \in (2; 3)$ с, $a_x = -10$ м/с²;
при $t \in (3; 4)$ с, $a_x = 5$ м/с²;
при $t \in (4; 5]$ с, $a_x = 0$ м/с².
(В моменты времени $t=2, 3, 4$ с ускорение скачкообразно меняется и не определено).

График координаты

Для построения графика $x(t)$ определим уравнение движения на каждом участке, зная начальную координату $x(0) = x_0 = 100$ м.

1. Участок $t \in [0; 2]$ с (равномерное движение):
Уравнение движения: $x(t) = x_0 + v_{x1} t = 100 + 20t$.
Координата в конце участка: $x(2) = 100 + 20 \cdot 2 = 140$ м.
На этом участке график $x(t)$ — прямая линия, проходящая через точки $(0; 100)$ и $(2; 140)$.

2. Участок $t \in [2; 3]$ с (равноускоренное движение):
Уравнение движения: $x(t) = x(2) + v_x(2)(t-2) + \frac{a_{x2}(t-2)^2}{2}$.
$x(t) = 140 + 20(t-2) - \frac{10(t-2)^2}{2} = 140 + 20(t-2) - 5(t-2)^2$.
Координата в конце участка: $x(3) = 140 + 20(3-2) - 5(3-2)^2 = 140 + 20 - 5 = 155$ м.
На этом участке график $x(t)$ — парабола с ветвями, направленными вниз, соединяющая точки $(2; 140)$ и $(3; 155)$.

3. Участок $t \in [3; 4]$ с (равноускоренное движение):
Уравнение движения: $x(t) = x(3) + v_x(3)(t-3) + \frac{a_{x3}(t-3)^2}{2}$.
$x(t) = 155 + 10(t-3) + \frac{5(t-3)^2}{2} = 155 + 10(t-3) + 2.5(t-3)^2$.
Координата в конце участка: $x(4) = 155 + 10(4-3) + 2.5(4-3)^2 = 155 + 10 + 2.5 = 167.5$ м.
На этом участке график $x(t)$ — парабола с ветвями, направленными вверх, соединяющая точки $(3; 155)$ и $(4; 167.5)$.

4. Участок $t \in [4; 5]$ с (равномерное движение):
Уравнение движения: $x(t) = x(4) + v_{x4}(t-4) = 167.5 + 15(t-4)$.
Координата в конце участка: $x(5) = 167.5 + 15(5-4) = 167.5 + 15 = 182.5$ м.
На этом участке график $x(t)$ — прямая линия, проходящая через точки $(4; 167.5)$ и $(5; 182.5)$.

Ответ: График $x(t)$ представляет собой кривую, состоящую из следующих участков:
1. На интервале $t \in [0; 2]$ с — отрезок прямой, соединяющий точки $(0 \text{ с}; 100 \text{ м})$ и $(2 \text{ с}; 140 \text{ м})$.
2. На интервале $t \in [2; 3]$ с — дуга параболы с ветвями вниз, соединяющая точки $(2 \text{ с}; 140 \text{ м})$ и $(3 \text{ с}; 155 \text{ м})$.
3. На интервале $t \in [3; 4]$ с — дуга параболы с ветвями вверх, соединяющая точки $(3 \text{ с}; 155 \text{ м})$ и $(4 \text{ с}; 167.5 \text{ м})$.
4. На интервале $t \in [4; 5]$ с — отрезок прямой, соединяющий точки $(4 \text{ с}; 167.5 \text{ м})$ и $(5 \text{ с}; 182.5 \text{ м})$.