Номер 262, страница 62 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

График зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$.

Начальная координата $x_0 = 0$.

Максимальная скорость по модулю $v_{max} = 72$ м/мин.

Перевод в СИ:

Скорость измеряется в м/мин, а время в секундах. Переведем скорость в м/с:

$v_{max} = 72 \frac{\text{м}}{\text{мин}} = \frac{72 \text{ м}}{60 \text{ с}} = 1.2 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Соответственно, пиковые значения скорости на графике равны $1.2$ м/с и $-1.2$ м/с.

Найти:

График проекции ускорения $a_x(t)$ и график координаты $x(t)$.

Решение:

Построение графика проекции ускорения $a_x(t)$

Проекция ускорения $a_x$ является производной от проекции скорости $v_x$ по времени $t$, то есть $a_x = \frac{dv_x}{dt}$. На графике $v_x(t)$ ускорение равно тангенсу угла наклона графика к оси времени. Поскольку график $v_x(t)$ состоит из прямолинейных участков, движение на каждом из них является равноускоренным, а ускорение — постоянным.

Рассчитаем ускорение для каждого интервала времени:

1. Участок $t \in [0, 2]$ с: Скорость изменяется от 0 до 1.2 м/с.

$a_{x1} = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{1.2 \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{2 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 0.6 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

2. Участок $t \in [2, 6]$ с: Скорость изменяется от 1.2 м/с до -1.2 м/с.

$a_{x2} = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{-1.2 \text{ м/с} - 1.2 \text{ м/с}}{6 \text{ с} - 2 \text{ с}} = \frac{-2.4 \text{ м/с}}{4 \text{ с}} = -0.6 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

3. Участок $t \in [6, 10]$ с: Скорость изменяется от -1.2 м/с до 1.2 м/с.

$a_{x3} = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{1.2 \text{ м/с} - (-1.2 \text{ м/с})}{10 \text{ с} - 6 \text{ с}} = \frac{2.4 \text{ м/с}}{4 \text{ с}} = 0.6 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

4. Участок $t \in [10, 14]$ с: Скорость изменяется от 1.2 м/с до -1.2 м/с.

$a_{x4} = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{-1.2 \text{ м/с} - 1.2 \text{ м/с}}{14 \text{ с} - 10 \text{ с}} = \frac{-2.4 \text{ м/с}}{4 \text{ с}} = -0.6 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Движение является периодическим, и значения ускорения повторяются. График $a_x(t)$ представляет собой ступенчатую линию.

Ответ: График $a_x(t)$ — это ступенчатая функция. На интервале времени $t \in (0, 2)$ с проекция ускорения постоянна и равна $a_x = 0.6$ м/с$^2$. На интервале $t \in (2, 6)$ с $a_x = -0.6$ м/с$^2$. На интервале $t \in (6, 10)$ с $a_x = 0.6$ м/с$^2$. На интервале $t \in (10, 14)$ с $a_x = -0.6$ м/с$^2$, и так далее. График представляет собой последовательность горизонтальных отрезков на уровнях $0.6$ и $-0.6$.

Построение графика координаты $x(t)$

Изменение координаты (перемещение) $\Delta x$ за некоторый промежуток времени равно площади фигуры под графиком $v_x(t)$ за этот же промежуток. Координата в любой момент времени $t$ вычисляется по формуле $x(t) = x_0 + \Delta x$. По условию, начальная координата $x_0=0$. На участках с постоянным ускорением зависимость координаты от времени является квадратичной ($x(t) = x_{нач} + v_{x,нач}\Delta t + \frac{a_x \Delta t^2}{2}$), поэтому график $x(t)$ будет состоять из соединенных параболических дуг.

Вычислим координаты в ключевые моменты времени, находя площадь под графиком $v_x(t)$:

1. При $t = 2$ с: Перемещение равно площади треугольника.

$x(2) = x(0) + \Delta x_{0-2} = 0 + \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ с} \cdot 1.2 \text{ м/с} = 1.2 \text{ м}$. На этом участке $a_x > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

2. При $t = 6$ с: Перемещение на участке $[2, 6]$ с равно сумме площадей двух треугольников (один над осью $t$, другой под ней), которые равны по модулю и противоположны по знаку. Поэтому суммарное перемещение равно нулю: $\Delta x_{2-6} = 0$.

$x(6) = x(2) + \Delta x_{2-6} = 1.2 \text{ м} + 0 = 1.2$ м. На этом участке $a_x < 0$, ветви параболы направлены вниз. Максимум координаты достигается, когда $v_x=0$, то есть при $t=4$ с. $x(4) = x(2) + \Delta x_{2-4} = 1.2 \text{ м} + \frac{1}{2} \cdot (4-2) \text{ с} \cdot 1.2 \text{ м/с} = 1.2 + 1.2 = 2.4 \text{ м}$.

3. При $t = 10$ с: Аналогично, перемещение на участке $[6, 10]$ с равно нулю, $\Delta x_{6-10} = 0$.

$x(10) = x(6) + \Delta x_{6-10} = 1.2 \text{ м} + 0 = 1.2$ м. На этом участке $a_x > 0$, ветви параболы направлены вверх. Минимум координаты достигается, когда $v_x=0$, то есть при $t=8$ с. $x(8) = x(6) + \Delta x_{6-8} = 1.2 \text{ м} + \frac{1}{2} \cdot (8-6) \text{ с} \cdot (-1.2 \text{ м/с}) = 1.2 - 1.2 = 0 \text{ м}$.

4. Последующее движение повторяет предыдущие участки. Ключевые точки графика $x(t)$: (0, 0); (2, 1.2); (4, 2.4); (6, 1.2); (8, 0); (10, 1.2); (12, 2.4); (14, 1.2) и так далее.

Ответ: График $x(t)$ — это кривая, состоящая из состыкованных параболических сегментов.На интервале $t \in [0, 2]$ с — ветвь параболы, направленной вверх, от точки (0 с, 0 м) до (2 с, 1.2 м).На интервале $t \in [2, 6]$ с — парабола с ветвями вниз, с вершиной в точке (4 с, 2.4 м), соединяющая точки (2 с, 1.2 м) и (6 с, 1.2 м).На интервале $t \in [6, 10]$ с — парабола с ветвями вверх, с вершиной в точке (8 с, 0 м), соединяющая точки (6 с, 1.2 м) и (10 с, 1.2 м).Далее участки парабол периодически повторяются. Максимальная координата фигуриста равна 2.4 м, минимальная — 0 м.