Номер 256, страница 60 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Закон движения первого тела: $x_1(t) = At + Bt^2$
Закон движения второго тела: $x_2(t) = Ct + Dt^2$
$A = 10,0 \text{ м/с}$
$B = 0,40 \text{ м/с}^2$
$C = -6,0 \text{ м/с}$
$D = 2,00 \text{ м/с}^2$
$t_{расст} = 5,0 \text{ с}$

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

1. Координату встречи $x_{встр}$ и время встречи $t_{встр}$.
2. Момент времени $t_v$, когда скорости тел равны.
3. Расстояние $S$ между телами в момент времени $t_{расст} = 5,0 \text{ с}$.

Решение:

1. Определите координату точки, в которой второе тело при движении догонит первое.

Второе тело догонит первое в тот момент времени $t_{встр}$, когда их координаты будут равны, то есть $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$.

Приравняем уравнения движения:

$At_{встр} + Bt_{встр}^2 = Ct_{встр} + Dt_{встр}^2$

Перенесем все члены в одну сторону и сгруппируем:

$(D - B)t_{встр}^2 + (C - A)t_{встр} = 0$

Вынесем $t_{встр}$ за скобки:

$t_{встр}((D - B)t_{встр} + (C - A)) = 0$

Это уравнение имеет два решения. Первое решение $t_{встр} = 0 \text{ с}$ соответствует начальному моменту времени, когда оба тела находились в начале координат.

Второе решение находим из уравнения:

$(D - B)t_{встр} + (C - A) = 0$

$t_{встр} = \frac{A - C}{D - B}$

Подставим числовые значения:

$t_{встр} = \frac{10,0 \text{ м/с} - (-6,0 \text{ м/с})}{2,00 \text{ м/с}^2 - 0,40 \text{ м/с}^2} = \frac{16,0 \text{ м/с}}{1,60 \text{ м/с}^2} = 10,0 \text{ с}$

Теперь найдем координату встречи, подставив найденное время в уравнение движения любого из тел, например, первого:

$x_{встр} = x_1(10,0) = A \cdot t_{встр} + B \cdot t_{встр}^2 = 10,0 \text{ м/с} \cdot 10,0 \text{ с} + 0,40 \text{ м/с}^2 \cdot (10,0 \text{ с})^2 = 100 \text{ м} + 0,40 \text{ м/с}^2 \cdot 100 \text{ с}^2 = 100 \text{ м} + 40 \text{ м} = 140 \text{ м}$

Для проверки можем подставить время во второе уравнение:

$x_{встр} = x_2(10,0) = C \cdot t_{встр} + D \cdot t_{встр}^2 = -6,0 \text{ м/с} \cdot 10,0 \text{ с} + 2,00 \text{ м/с}^2 \cdot (10,0 \text{ с})^2 = -60 \text{ м} + 2,00 \text{ м/с}^2 \cdot 100 \text{ с}^2 = -60 \text{ м} + 200 \text{ м} = 140 \text{ м}$

Координаты совпадают.

Ответ: второе тело догонит первое в момент времени $t = 10,0 \text{ с}$ в точке с координатой $x = 140 \text{ м}$.

2. В какой момент времени тела будут иметь скорости, совпадающие по модулю и направлению?

Скорость является первой производной координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.

Найдем уравнения скоростей для каждого тела:

$v_1(t) = \frac{d x_1}{dt} = \frac{d}{dt}(At + Bt^2) = A + 2Bt$

$v_2(t) = \frac{d x_2}{dt} = \frac{d}{dt}(Ct + Dt^2) = C + 2Dt$

Скорости совпадают по модулю и направлению, когда $v_1(t) = v_2(t)$. Приравняем выражения для скоростей:

$A + 2Bt = C + 2Dt$

Решим это уравнение относительно времени $t_v$:

$A - C = 2Dt_v - 2Bt_v$

$A - C = 2t_v(D - B)$

$t_v = \frac{A - C}{2(D - B)}$

Подставим числовые значения:

$t_v = \frac{10,0 \text{ м/с} - (-6,0 \text{ м/с})}{2 \cdot (2,00 \text{ м/с}^2 - 0,40 \text{ м/с}^2)} = \frac{16,0 \text{ м/с}}{2 \cdot 1,60 \text{ м/с}^2} = \frac{16,0 \text{ м/с}}{3,20 \text{ м/с}^2} = 5,0 \text{ с}$

Ответ: скорости тел будут совпадать в момент времени $t = 5,0 \text{ с}$.

3. Каким будет расстояние между телами через время $t = 5,0 \text{ с}$ после начала движения?

Найдем координаты каждого тела в момент времени $t = 5,0 \text{ с}$.

Координата первого тела:

$x_1(5,0) = A \cdot 5,0 + B \cdot (5,0)^2 = 10,0 \text{ м/с} \cdot 5,0 \text{ с} + 0,40 \text{ м/с}^2 \cdot (5,0 \text{ с})^2 = 50 \text{ м} + 0,40 \text{ м/с}^2 \cdot 25 \text{ с}^2 = 50 \text{ м} + 10 \text{ м} = 60 \text{ м}$

Координата второго тела:

$x_2(5,0) = C \cdot 5,0 + D \cdot (5,0)^2 = -6,0 \text{ м/с} \cdot 5,0 \text{ с} + 2,00 \text{ м/с}^2 \cdot (5,0 \text{ с})^2 = -30 \text{ м} + 2,00 \text{ м/с}^2 \cdot 25 \text{ с}^2 = -30 \text{ м} + 50 \text{ м} = 20 \text{ м}$

Расстояние $S$ между телами равно модулю разности их координат:

$S = |x_1(5,0) - x_2(5,0)| = |60 \text{ м} - 20 \text{ м}| = 40 \text{ м}$

Ответ: через 5,0 с после начала движения расстояние между телами будет 40 м.