Номер 255, страница 59 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Кинематический закон движения: $x = A + Bt + Ct^2$

$A = 3$ дм

$B = 2$ дм/с

$C = -1$ дм/с²

$t_1 = 3$ с

Переведем данные в систему СИ:

$A = 0,3$ м

$B = 0,2$ м/с

$C = -0,1$ м/с²

Найти:

а) $x(t_1)$ — ?, $v_x(t_1)$ — ?

б) Построить графики $x(t)$ и $s_x(t)$

в) Построить графики $v_x(t)$ и $a_x(t)$

Решение:

Общий вид уравнения равноускоренного движения: $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$.

Сравнивая с данным уравнением $x(t) = 0,3 + 0,2t - 0,1t^2$, находим начальные параметры движения:

Начальная координата: $x_0 = A = 0,3$ м.

Проекция начальной скорости: $v_{0x} = B = 0,2$ м/с.

Проекция ускорения: $\frac{a_x}{2} = C = -0,1$ м/с², следовательно $a_x = 2C = -0,2$ м/с².

а) 1. Определим координату автомобиля в конце третьей секунды ($t=3$ с), подставив значение времени в уравнение движения:

$x(3) = 0,3 + 0,2 \cdot 3 - 0,1 \cdot 3^2 = 0,3 + 0,6 - 0,1 \cdot 9 = 0,9 - 0,9 = 0$ м.

2. Найдем уравнение зависимости проекции скорости от времени. Скорость — это первая производная координаты по времени:

$v_x(t) = x'(t) = (A + Bt + Ct^2)' = B + 2Ct$.

Подставим значения B и C:

$v_x(t) = 0,2 - 2 \cdot 0,1t = 0,2 - 0,2t$.

3. Определим проекцию скорости в конце третьей секунды ($t=3$ с):

$v_x(3) = 0,2 - 0,2 \cdot 3 = 0,2 - 0,6 = -0,4$ м/с.

Ответ: В конце третьей секунды координата автомобиля $x = 0$ м, а проекция его скорости $v_x = -0,4$ м/с.

б) 1. График движения $x(t)$. Зависимость $x(t) = 0,3 + 0,2t - 0,1t^2$ является квадратичной, следовательно, график — парабола. Так как коэффициент при $t^2$ отрицательный ($-0,1 < 0$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы. Время достижения вершины $t_в$ находится из условия $v_x(t_в)=0$:

$0,2 - 0,2t_в = 0 \implies t_в = 1$ с.

Координата в этот момент времени:

$x(1) = 0,3 + 0,2 \cdot 1 - 0,1 \cdot 1^2 = 0,4$ м.

Вершина параболы находится в точке $(1; 0,4)$.

Ключевые точки для построения графика:

• $t=0$ с, $x=0,3$ м (начальная точка);
• $t=1$ с, $x=0,4$ м (вершина);
• $t=2$ с, $x=0,3 + 0,2 \cdot 2 - 0,1 \cdot 2^2 = 0,3$ м;
• $t=3$ с, $x=0$ м (точка из пункта а)).

2. График проекции перемещения $s_x(t)$. Перемещение определяется как $s_x(t) = x(t) - x_0$.

$s_x(t) = (A + Bt + Ct^2) - A = Bt + Ct^2 = 0,2t - 0,1t^2$.

Это также парабола с ветвями, направленными вниз, но проходящая через начало координат.

Вершина параболы находится в тот же момент времени $t_в = 1$ с.

Перемещение в этот момент: $s_x(1) = 0,2 \cdot 1 - 0,1 \cdot 1^2 = 0,1$ м.

Ключевые точки для построения графика:

• $t=0$ с, $s_x=0$ м (начало координат);
• $t=1$ с, $s_x=0,1$ м (вершина);
• $t=2$ с, $s_x=0,2 \cdot 2 - 0,1 \cdot 2^2 = 0$ м (возвращение в начальное положение);
• $t=3$ с, $s_x=0,2 \cdot 3 - 0,1 \cdot 3^2 = -0,3$ м.

Ответ: График движения $x(t)$ — парабола с ветвями вниз, с вершиной в точке (1 с; 0,4 м), начинающаяся в точке (0 с; 0,3 м). График проекции перемещения $s_x(t)$ — парабола с ветвями вниз, с вершиной в точке (1 с; 0,1 м), проходящая через начало координат.

в) 1. График проекции скорости $v_x(t)$. Как было найдено в пункте а), зависимость проекции скорости от времени линейная: $v_x(t) = 0,2 - 0,2t$.

График — прямая линия. Для построения достаточно двух точек:

• $t=0$ с, $v_x = 0,2$ м/с;
• $t=1$ с, $v_x = 0$ м/с (в этот момент скорость меняет знак).
• $t=3$ с, $v_x = -0,4$ м/с.

2. График проекции ускорения $a_x(t)$. Ускорение — это первая производная скорости по времени:

$a_x(t) = v_x'(t) = (B + 2Ct)' = 2C$.

$a_x = 2 \cdot (-0,1) = -0,2$ м/с².

Ускорение постоянно и отрицательно. График $a_x(t)$ — это прямая линия, параллельная оси времени $t$ и проходящая через значение $a_x = -0,2$ м/с².

Ответ: График проекции скорости $v_x(t)$ — прямая линия, проходящая через точки (0 с; 0,2 м/с) и (1 с; 0 м/с). График проекции ускорения $a_x(t)$ — горизонтальная прямая, расположенная на уровне $a_x = -0,2$ м/с².