Номер 355, страница 83 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$v_0 = 20 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$\eta = \frac{F_{сопр}}{F_{тяж}} = 0.60$

$F_{сопр} = \text{const}$

Данные представлены в системе СИ.

Найти:

$t$ — общее время полета.

Решение:

Полное время полета мяча $t$ складывается из времени подъема до максимальной высоты $t_1$ и времени падения с этой высоты $t_2$. Из-за наличия силы сопротивления воздуха ускорение мяча при движении вверх и при движении вниз будет различным. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

На мяч действуют две силы: сила тяжести $F_{тяж} = mg$, направленная всегда вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха $F_{сопр}$, направленная против вектора скорости. По условию, модуль силы сопротивления постоянен и равен $F_{сопр} = \eta mg$.

1. Движение вверх.

Направим ось $OY$ вертикально вверх. При подъеме и сила тяжести, и сила сопротивления воздуха направлены вниз (против оси $OY$). Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил, действующих на мяч, равна:

$ma_1 = -F_{тяж} - F_{сопр} = -mg - \eta mg = -mg(1 + \eta)$

Отсюда находим ускорение мяча при подъеме:

$a_1 = -g(1 + \eta) = -10 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (1 + 0.60) = -16 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Время подъема $t_1$ определим из уравнения скорости для равноускоренного движения $v = v_0 + a_1 t$. На максимальной высоте скорость мяча $v=0$.

$0 = v_0 + a_1 t_1 \implies t_1 = -\frac{v_0}{a_1} = \frac{v_0}{g(1 + \eta)}$

$t_1 = \frac{20 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}}{16 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = 1.25 \, \text{с}$

2. Движение вниз.

При падении сила тяжести направлена вниз, а сила сопротивления воздуха — вверх (против движения). Равнодействующая сил (в проекции на ось $OY$):

$ma_2 = -F_{тяж} + F_{сопр} = -mg + \eta mg = -mg(1 - \eta)$

Ускорение мяча при падении:

$a_2 = -g(1 - \eta) = -10 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (1 - 0.60) = -4 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Для нахождения времени падения $t_2$ необходимо знать максимальную высоту подъема $h$. Найдем ее по формуле для пути при равноускоренном движении вверх:

$h = v_0 t_1 + \frac{a_1 t_1^2}{2} = 20 \cdot 1.25 + \frac{(-16) \cdot (1.25)^2}{2} = 25 - 8 \cdot 1.5625 = 25 - 12.5 = 12.5 \, \text{м}$

Время падения $t_2$ с высоты $h$ с начальной скоростью 0 и ускорением $|a_2|$ находим из формулы $h = \frac{|a_2| t_2^2}{2}$:

$t_2 = \sqrt{\frac{2h}{|a_2|}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 12.5 \, \text{м}}{4 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2.5 \, \text{с}$

3. Общее время полета.

Общее время полета равно сумме времени подъема и времени падения:

$t = t_1 + t_2 = 1.25 \, \text{с} + 2.5 \, \text{с} = 3.75 \, \text{с}$

Ответ: $3.75 \, \text{с}$.