Номер 351, страница 82 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_1 = 200$ кг

$m_2 = 600$ кг

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$m_{max}$ — максимальную массу груза, который можно поднимать (или опускать) с постоянной скоростью.

Решение:

Пусть $T_{max}$ — максимальная сила натяжения, которую выдерживает веревка. Эта сила одинакова во всех случаях, так как веревка одна и та же.

1. Когда груз массой $m_1$ поднимают с ускорением $a$, направленным вверх, на него действуют сила натяжения $T_{max}$ (вверх) и сила тяжести $m_1g$ (вниз). Согласно второму закону Ньютона:

$T_{max} - m_1g = m_1a$

Отсюда, максимальная сила натяжения равна:

$T_{max} = m_1(g + a)$ (1)

2. Когда груз массой $m_2$ опускают с тем же по модулю ускорением $a$, направленным вниз, на него действуют сила натяжения $T_{max}$ (вверх) и сила тяжести $m_2g$ (вниз). Второй закон Ньютона для этого случая (в проекции на ось, направленную вверх):

$T_{max} - m_2g = -m_2a$

Отсюда, максимальная сила натяжения равна:

$T_{max} = m_2(g - a)$ (2)

3. Когда груз с искомой максимальной массой $m_{max}$ поднимают или опускают с постоянной скоростью, его ускорение равно нулю. В этом случае сила натяжения веревки уравновешивает силу тяжести. Максимальная масса соответствует максимальной силе натяжения:

$T_{max} = m_{max}g$ (3)

Для нахождения $m_{max}$ нам нужно сначала определить $T_{max}$. Для этого решим систему уравнений (1) и (2) относительно $T_{max}$ и $a$. Приравняем правые части уравнений (1) и (2):

$m_1(g + a) = m_2(g - a)$

Раскроем скобки и выразим ускорение $a$:

$m_1g + m_1a = m_2g - m_2a$

$m_1a + m_2a = m_2g - m_1g$

$a(m_1 + m_2) = g(m_2 - m_1)$

$a = g \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}$

Теперь подставим найденное выражение для $a$ в уравнение (1), чтобы найти $T_{max}$:

$T_{max} = m_1 \left( g + g \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) = m_1g \left( 1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$T_{max} = m_1g \left( \frac{m_1 + m_2 + m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) = m_1g \left( \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \right)$

$T_{max} = g \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}$

Теперь, используя уравнение (3), мы можем найти $m_{max}$:

$m_{max}g = g \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}$

Сократив $g$, получаем формулу для искомой массы:

$m_{max} = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:

$m_{max} = \frac{2 \cdot 200 \text{ кг} \cdot 600 \text{ кг}}{200 \text{ кг} + 600 \text{ кг}} = \frac{240000 \text{ кг}^2}{800 \text{ кг}} = 300 \text{ кг}$

Ответ: максимальная масса груза, который можно поднимать или опускать с постоянной скоростью, равна 300 кг.