Номер 68, страница 22 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Угол между дорожками: $α = 60°$
Время движения после встречи: $t = 30 \text{ с}$
Расстояние между бегунами через время $t$: $l = 90 \text{ м}$
Модули скоростей бегунов равны: $v_1 = v_2 = v$

Найти:

Модуль скорости бегунов $v$.

Решение:

Примем точку пересечения дорожек за начало отсчета. В начальный момент времени ($t_0 = 0$) оба бегуна находятся в этой точке. Так как они движутся с одинаковой скоростью $v$, за время $t$ каждый из них пробежит одинаковое расстояние $s$ вдоль своей дорожки. Это расстояние вычисляется по формуле:
$s = v \cdot t$

Через время $t$ положения первого бегуна, второго бегуна и точка пересечения их путей образуют треугольник. Две стороны этого треугольника, выходящие из точки пересечения, равны расстоянию $s$, которое пробежал каждый бегун. Третья сторона треугольника — это расстояние $l$ между бегунами в данный момент времени. Угол между сторонами, равными $s$, — это угол $α$ между дорожками.

Для нахождения связи между сторонами этого треугольника воспользуемся теоремой косинусов:
$l^2 = s^2 + s^2 - 2 \cdot s \cdot s \cdot \cos(α)$

Упростим выражение:
$l^2 = 2s^2 - 2s^2 \cos(α)$
$l^2 = 2s^2(1 - \cos(α))$

Подставим в это уравнение выражение для расстояния $s = v \cdot t$:
$l^2 = 2(v \cdot t)^2(1 - \cos(α))$

Теперь выразим из этой формулы искомую скорость $v$:
$v^2 = \frac{l^2}{2t^2(1 - \cos(α))}$
$v = \sqrt{\frac{l^2}{2t^2(1 - \cos(α))}} = \frac{l}{t\sqrt{2(1 - \cos(α))}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Известно, что $\cos(60°) = 0.5$.
$v = \frac{90 \text{ м}}{30 \text{ с} \cdot \sqrt{2(1 - 0.5)}} = \frac{90}{30 \cdot \sqrt{2 \cdot 0.5}} = \frac{90}{30 \cdot \sqrt{1}} = \frac{90}{30} = 3 \text{ м/с}$

Альтернативное решение: так как две стороны треугольника, образованного бегунами и точкой пересечения, равны ($s_1 = s_2 = s$) и угол между ними равен $60°$, то этот треугольник является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны: $l = s$.
Тогда можно записать $l = v \cdot t$, откуда $v = \frac{l}{t} = \frac{90 \text{ м}}{30 \text{ с}} = 3 \text{ м/с}$.

Ответ: модуль скорости движения бегунов равен 3 м/с.