Номер 69, страница 22 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Скорость первого автомобиля: $v_1 = 12$ м/с.

Скорость второго автомобиля: $v_2 = 14$ м/с.

Начальное расстояние первого автомобиля до перекрестка: $l_1 = 255$ м.

Начальное расстояние второго автомобиля до перекрестка: $l_2 = 170$ м.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Время $t$, через которое расстояние между автомобилями будет таким же, как и в начальный момент времени.

Решение:

Введем систему координат. Пусть перекресток находится в начале координат (0, 0). Улицы, по которым движутся автомобили, совпадают с осями координат. Пусть первый автомобиль движется по оси OY, а второй — по оси OX. В начальный момент времени ($t=0$) их координаты:

Первый автомобиль: $y_1(0) = l_1 = 255$ м, $x_1(0) = 0$.

Второй автомобиль: $x_2(0) = l_2 = 170$ м, $y_2(0) = 0$.

Расстояние между автомобилями в начальный момент времени ($d_0$) найдем по теореме Пифагора:

$d_0^2 = l_1^2 + l_2^2$

Так как автомобили движутся равномерно и прямолинейно к перекрестку, их координаты в произвольный момент времени $t$ будут:

Координата первого автомобиля по оси OY: $y_1(t) = l_1 - v_1 t$.

Координата второго автомобиля по оси OX: $x_2(t) = l_2 - v_2 t$.

Квадрат расстояния между автомобилями в момент времени $t$ равен:

$d(t)^2 = (x_2(t) - x_1(t))^2 + (y_2(t) - y_1(t))^2 = (l_2 - v_2 t - 0)^2 + (0 - (l_1 - v_1 t))^2$

$d(t)^2 = (l_2 - v_2 t)^2 + (l_1 - v_1 t)^2$

По условию задачи, в некоторый момент времени $t$ расстояние между автомобилями должно снова стать равным начальному, то есть $d(t) = d_0$, или $d(t)^2 = d_0^2$.

$(l_2 - v_2 t)^2 + (l_1 - v_1 t)^2 = l_1^2 + l_2^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$l_2^2 - 2 l_2 v_2 t + v_2^2 t^2 + l_1^2 - 2 l_1 v_1 t + v_1^2 t^2 = l_1^2 + l_2^2$

Сократим одинаковые члены ($l_1^2$ и $l_2^2$) в обеих частях уравнения:

$-2 l_2 v_2 t + v_2^2 t^2 - 2 l_1 v_1 t + v_1^2 t^2 = 0$

Сгруппируем члены с $t$ и $t^2$:

$(v_1^2 + v_2^2)t^2 - (2l_1v_1 + 2l_2v_2)t = 0$

Вынесем $t$ за скобки:

$t((v_1^2 + v_2^2)t - 2(l_1v_1 + l_2v_2)) = 0$

Это уравнение имеет два решения. Первое решение $t = 0$ соответствует начальному моменту времени, что логично.

Второе решение находим из выражения в скобках:

$(v_1^2 + v_2^2)t - 2(l_1v_1 + l_2v_2) = 0$

$(v_1^2 + v_2^2)t = 2(l_1v_1 + l_2v_2)$

$t = \frac{2(l_1v_1 + l_2v_2)}{v_1^2 + v_2^2}$

Подставим числовые значения:

$t = \frac{2 \cdot (255 \cdot 12 + 170 \cdot 14)}{12^2 + 14^2} = \frac{2 \cdot (3060 + 2380)}{144 + 196} = \frac{2 \cdot 5440}{340} = \frac{10880}{340}$

$t = \frac{1088}{34} = 32$ с.

Ответ: расстояние между автомобилями будет таким же, как и в начальный момент времени, через 32 с.