Номер 73, страница 23 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Скорость моторной лодки, $v_1 = 12 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Скорость теплохода, $v_2 = 24 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Теплоход отправился позже лодки на время, $t_1 = 1,5 \text{ ч}$

Теплоход прибыл раньше лодки на время, $t_2 = 1,0 \text{ ч}$

Перевод в СИ:

$v_1 = 12 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 12 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{10}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 3,33 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_2 = 24 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 24 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{20}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 6,67 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$t_1 = 1,5 \text{ ч} = 1,5 \cdot 3600 \text{ с} = 5400 \text{ с}$

$t_2 = 1,0 \text{ ч} = 1,0 \cdot 3600 \text{ с} = 3600 \text{ с}$

Найти:

Расстояние между пристанями, $S$.

Решение:

Обозначим искомое расстояние между пристанями как $S$.

Время, которое моторная лодка затратила на весь путь, можно выразить через расстояние и скорость:

$T_{\text{лодки}} = \frac{S}{v_1}$

Аналогично, время, которое теплоход затратил на весь путь:

$T_{\text{теплохода}} = \frac{S}{v_2}$

Из условия задачи известно, что теплоход вышел на $t_1 = 1,5 \text{ ч}$ позже лодки и пришел на $t_2 = 1,0 \text{ ч}$ раньше. Это означает, что общее время, которое лодка находилась в пути, было больше, чем время, которое теплоход находился в пути.

Разница во времени нахождения в пути равна сумме времени, на которое теплоход выехал позже, и времени, на которое он приехал раньше:

$\Delta T = t_1 + t_2$

Эта разница также равна разности времени движения лодки и теплохода:

$\Delta T = T_{\text{лодки}} - T_{\text{теплохода}}$

Приравняем два выражения для $\Delta T$ и подставим формулы для времени движения:

$T_{\text{лодки}} - T_{\text{теплохода}} = t_1 + t_2$

$\frac{S}{v_1} - \frac{S}{v_2} = t_1 + t_2$

Вынесем $S$ за скобки, чтобы решить уравнение относительно расстояния:

$S \left( \frac{1}{v_1} - \frac{1}{v_2} \right) = t_1 + t_2$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$S \left( \frac{v_2 - v_1}{v_1 v_2} \right) = t_1 + t_2$

Выразим $S$:

$S = (t_1 + t_2) \frac{v_1 v_2}{v_2 - v_1}$

Для удобства вычислений будем использовать исходные единицы измерения (км/ч и часы), так как они согласованы. В этом случае расстояние получится в километрах.

Подставим числовые значения в формулу:

$S = (1,5 \text{ ч} + 1,0 \text{ ч}) \cdot \frac{12 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot 24 \frac{\text{км}}{\text{ч}}}{24 \frac{\text{км}}{\text{ч}} - 12 \frac{\text{км}}{\text{ч}}}$

$S = 2,5 \text{ ч} \cdot \frac{288 \frac{\text{км}^2}{\text{ч}^2}}{12 \frac{\text{км}}{\text{ч}}}$

$S = 2,5 \text{ ч} \cdot 24 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

$S = 60 \text{ км}$

Ответ: расстояние между пристанями равно 60 км.