Номер 79, страница 24 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Кинематический закон движения Кати: $x_К = A + Bt$

Кинематический закон движения Нади: $x_Н = C + Dt$

$A = 3,0 \text{ м}$

$B = v_К = 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$C = 9,0 \text{ м}$

$D = v_Н = 0,5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Все данные представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Координату встречи $x_{встр}$ — аналитически и графически.

Построить графики движения $x(t)$.

Сравнить углы наклона графиков к оси абсцисс.

Решение:

Подставим числовые значения в уравнения движения:

Для Кати: $x_К(t) = 3 + 1 \cdot t$

Для Нади: $x_Н(t) = 9 + 0,5 \cdot t$

1. Аналитическое решение

Катя догонит Надю в тот момент времени $t_{встр}$, когда их координаты будут равны: $x_К(t_{встр}) = x_Н(t_{встр})$.

Приравняем уравнения движения:

$A + B \cdot t_{встр} = C + D \cdot t_{встр}$

$3 + 1 \cdot t_{встр} = 9 + 0,5 \cdot t_{встр}$

Теперь решим это уравнение относительно $t_{встр}$:

$1 \cdot t_{встр} - 0,5 \cdot t_{встр} = 9 - 3$

$0,5 \cdot t_{встр} = 6$

$t_{встр} = \frac{6}{0,5} = 12 \text{ с}$

Теперь, зная время встречи, мы можем найти координату встречи, подставив значение $t_{встр}$ в любое из двух уравнений движения.

Используя уравнение для Кати:

$x_{встр} = x_К(12) = 3 + 1 \cdot 12 = 15 \text{ м}$

Для проверки, используем уравнение для Нади:

$x_{встр} = x_Н(12) = 9 + 0,5 \cdot 12 = 9 + 6 = 15 \text{ м}$

Результаты совпадают, следовательно, вычисления верны.

Ответ: Катя догонит Надю в точке с координатой $15 \text{ м}$.

2. Графическое решение и построение графиков

Графики зависимости координаты от времени $x(t)$ для равномерного прямолинейного движения представляют собой прямые линии. Для построения каждой прямой достаточно двух точек.

Для графика движения Кати ($x_К = 3 + t$):

• При $t = 0 \text{ с}$, $x_К = 3 \text{ м}$. Точка (0; 3).
• При $t = 12 \text{ с}$, $x_К = 15 \text{ м}$. Точка (12; 15).

Для графика движения Нади ($x_Н = 9 + 0,5t$):

• При $t = 0 \text{ с}$, $x_Н = 9 \text{ м}$. Точка (0; 9).
• При $t = 12 \text{ с}$, $x_Н = 15 \text{ м}$. Точка (12; 15).

Построим графики в одной системе координат $x(t)$. Точка пересечения графиков соответствует моменту и месту встречи.

Как видно из графика, прямые пересекаются в точке с координатами $(12 \text{ с}; 15 \text{ м})$. Это означает, что встреча произойдет через 12 секунд после начала наблюдения в точке с координатой 15 м.

Ответ: Графическое решение подтверждает, что Катя догонит Надю в точке с координатой $15 \text{ м}$.

3. Сравнение углов наклона графиков

Уравнение движения $x(t) = x_0 + vt$ является линейной функцией. В общем виде уравнение прямой $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс ($k = \tan\alpha$).

В нашем случае роль $y$ играет координата $x$, а роль $x$ — время $t$. Угловой коэффициент графика $x(t)$ равен скорости движения $v$.

Для Кати угловой коэффициент $k_К$ равен ее скорости $B$:

$k_К = \tan(\alpha_К) = B = 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Для Нади угловой коэффициент $k_Н$ равен ее скорости $D$:

$k_Н = \tan(\alpha_Н) = D = 0,5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Сравним тангенсы углов наклона:

$1,0 > 0,5$, следовательно $\tan(\alpha_К) > \tan(\alpha_Н)$.

Так как для острых углов функция тангенса является возрастающей, из неравенства для тангенсов следует неравенство и для самих углов:

$\alpha_К > \alpha_Н$

Это также видно на графике: синяя линия (график Кати) наклонена к оси времени под большим углом, чем красная линия (график Нади).

Ответ: Угол наклона графика движения Кати к оси абсцисс больше, чем угол наклона графика движения Нади. Это связано с тем, что скорость Кати больше скорости Нади.