Номер 705, страница 141 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Суммарная длина стержней $l_0 = 90$ см.

Процентное соотношение объемов (и длин, т.к. сечение постоянно):

Стальной цилиндр (ст): 32%

Алюминиевый цилиндр (ал): 48%

Латунный цилиндр (л): 20%

Плотности материалов (справочные значения):

$\rho_{ст} \approx 7800 \text{ кг/м}^3$

$\rho_{ал} \approx 2700 \text{ кг/м}^3$

$\rho_{л} \approx 8500 \text{ кг/м}^3$

Перевод в систему СИ:

$l_0 = 0.9$ м

Найти:

$x$ — расстояние от центра алюминиевого цилиндра до центра масс всей системы.

Решение:

Поскольку все три цилиндра имеют одинаковое поперечное сечение $S$, отношение их объемов равно отношению их длин. Найдем длину каждого цилиндра:

$l_{ст} = 0.32 \cdot l_0 = 0.32 \cdot 0.9 \text{ м} = 0.288 \text{ м}$

$l_{ал} = 0.48 \cdot l_0 = 0.48 \cdot 0.9 \text{ м} = 0.432 \text{ м}$

$l_{л} = 0.20 \cdot l_0 = 0.20 \cdot 0.9 \text{ м} = 0.180 \text{ м}$

Проверка: $0.288 + 0.432 + 0.180 = 0.9$ м. Верно.

Для нахождения центра масс системы воспользуемся координатной осью $Ox$, которую направим вдоль оси цилиндров. Согласно условию, алюминиевый цилиндр находится посередине. Разместим начало координат ($x=0$) в центре алюминиевого цилиндра. Тогда расположение цилиндров будет следующим: стальной, алюминиевый, латунный.

Центр масс каждого однородного цилиндра находится в его геометрическом центре. Найдем координаты центров масс каждого из трех цилиндров:

1. Алюминиевый цилиндр: его центр находится в начале координат. $x_{ал} = 0$.

2. Стальной цилиндр: он расположен слева от алюминиевого. Его правый край находится в точке $x = -l_{ал}/2$. Длина стального цилиндра $l_{ст}$. Его центр масс находится на расстоянии $l_{ст}/2$ от его края. Таким образом, координата центра масс стального цилиндра:

$x_{ст} = -\frac{l_{ал}}{2} - \frac{l_{ст}}{2} = -\frac{l_{ал} + l_{ст}}{2} = -\frac{0.432 + 0.288}{2} = -\frac{0.720}{2} = -0.36 \text{ м}$.

3. Латунный цилиндр: он расположен справа от алюминиевого. Его левый край находится в точке $x = +l_{ал}/2$. Его центр масс находится на расстоянии $l_{л}/2$ от его края. Координата центра масс латунного цилиндра:

$x_{л} = \frac{l_{ал}}{2} + \frac{l_{л}}{2} = \frac{l_{ал} + l_{л}}{2} = \frac{0.432 + 0.180}{2} = \frac{0.612}{2} = 0.306 \text{ м}$.

Координата центра масс всей системы $x_{ЦМ}$ вычисляется по формуле:

$x_{ЦМ} = \frac{m_{ст}x_{ст} + m_{ал}x_{ал} + m_{л}x_{л}}{m_{ст} + m_{ал} + m_{л}}$

Масса каждого цилиндра равна $m = \rho \cdot V = \rho \cdot S \cdot l$. Подставим это в формулу:

$x_{ЦМ} = \frac{\rho_{ст} S l_{ст} x_{ст} + \rho_{ал} S l_{ал} x_{ал} + \rho_{л} S l_{л} x_{л}}{\rho_{ст} S l_{ст} + \rho_{ал} S l_{ал} + \rho_{л} S l_{л}}$

Площадь поперечного сечения $S$ сокращается:

$x_{ЦМ} = \frac{\rho_{ст} l_{ст} x_{ст} + \rho_{ал} l_{ал} x_{ал} + \rho_{л} l_{л} x_{л}}{\rho_{ст} l_{ст} + \rho_{ал} l_{ал} + \rho_{л} l_{л}}$

Так как $x_{ал} = 0$, то второе слагаемое в числителе равно нулю. Подставим числовые значения:

Вычислим числитель:

$\rho_{ст} l_{ст} x_{ст} + \rho_{л} l_{л} x_{л} = 7800 \cdot 0.288 \cdot (-0.36) + 8500 \cdot 0.180 \cdot 0.306 = -808.704 + 468.18 = -340.524$

Вычислим знаменатель:

$\rho_{ст} l_{ст} + \rho_{ал} l_{ал} + \rho_{л} l_{л} = 7800 \cdot 0.288 + 2700 \cdot 0.432 + 8500 \cdot 0.180 = 2246.4 + 1166.4 + 1530 = 4942.8$

Найдем координату центра масс:

$x_{ЦМ} = \frac{-340.524}{4942.8} \approx -0.06889 \text{ м}$

Знак "минус" показывает, что центр масс смещен в сторону стального цилиндра относительно центра алюминиевого. Расстояние $x$ - это модуль этой величины:

$x = |x_{ЦМ}| \approx 0.06889 \text{ м} \approx 6.9 \text{ см}$.

Ответ: расстояние от центра алюминиевого цилиндра до центра масс всей системы составляет примерно 6.9 см.