Номер 702, страница 140 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_1 = m$

$m_2 = 5m$

$m_3 = 7m$

$m_4 = 3m$

$l = 20$ см

Стержень невесомый.

Перевод в СИ:

$l = 0.2$ м

Найти:

$d$ - расстояние от центра третьего шара до центра тяжести всей системы.

Решение:

Центр тяжести системы материальных точек (в данном случае, центров шаров) можно найти по формуле для координаты центра масс. Так как все шары расположены на одной прямой (на стержне), мы можем использовать одномерную систему координат Ox.

Для удобства вычислений разместим начало координат (точку $x=0$) в центре третьего шара, массу которого $m_3 = 7m$. Тогда координаты центров всех четырех шаров будут следующими:

• Координата первого шара: $x_1 = -2l$
• Координата второго шара: $x_2 = -l$
• Координата третьего шара: $x_3 = 0$
• Координата четвертого шара: $x_4 = l$

Координата центра тяжести ($x_{цт}$) системы вычисляется по формуле:

$x_{цт} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3 + m_4 x_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4}$

Сначала найдем общую массу системы $M$:

$M = m_1 + m_2 + m_3 + m_4 = m + 5m + 7m + 3m = 16m$

Теперь подставим значения масс и их координат в формулу для центра тяжести:

$x_{цт} = \frac{m \cdot (-2l) + 5m \cdot (-l) + 7m \cdot 0 + 3m \cdot l}{16m}$

Выполним вычисления в числителе:

$x_{цт} = \frac{-2ml - 5ml + 0 + 3ml}{16m} = \frac{-4ml}{16m}$

Можно сократить массу $m$, так как она присутствует и в числителе, и в знаменателе:

$x_{цт} = -\frac{4l}{16} = -\frac{l}{4}$

Теперь подставим числовое значение расстояния $l = 20$ см:

$x_{цт} = -\frac{20 \text{ см}}{4} = -5$ см

Полученное значение $x_{цт} = -5$ см является координатой центра тяжести. Знак "минус" показывает, что центр тяжести смещен влево от нашего начала координат (т.е. от центра третьего шара). Расстояние $d$ является абсолютным значением (модулем) этой координаты.

$d = |x_{цт}| = |-5 \text{ см}| = 5$ см.

Таким образом, центр тяжести всей системы находится на расстоянии 5 см от центра третьего шара, в направлении ко второму шару.

Ответ: 5 см.