Номер 703, страница 140 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Радиус однородного шара, $R = 28$ см.

Радиус шарообразной полости, $r = R/2$.

Полость касается поверхности шара.

Перевод в систему СИ:

$R = 0.28$ м.

$r = R/2 = 0.28 \text{ м} / 2 = 0.14$ м.

Найти:

$x_ц$ — расстояние от центра сплошного шара до центра тяжести шара с вырезом.

Решение:

Для нахождения центра тяжести (центра масс) шара с вырезом воспользуемся методом отрицательных масс. Представим шар с полостью как результат наложения двух тел: сплошного шара радиусом $R$ с положительной плотностью $\rho$ и шара меньшего радиуса $r$ (соответствующего полости) с отрицательной плотностью $-\rho$.

Выберем систему координат так, чтобы её начало совпадало с центром большого (сплошного) шара. Ось $Ox$ направим через центр полости. Поскольку полость касается поверхности большого шара, её центр будет находиться на расстоянии $x_2 = R - r$ от центра большого шара. Так как $r = R/2$, то $x_2 = R - R/2 = R/2$.

Координата центра масс большого шара (без выреза) $x_1 = 0$.

Массу большого шара $M$ можно выразить через его объём $V$ и плотность $\rho$:

$M = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$

Массу вырезанной части $m$ (которую мы рассматриваем как отрицательную) можно выразить аналогично через её объём $v$ и плотность $\rho$:

$m = \rho v = \rho \frac{4}{3}\pi r^3 = \rho \frac{4}{3}\pi (\frac{R}{2})^3 = \rho \frac{4}{3}\pi \frac{R^3}{8} = \frac{1}{8} (\rho \frac{4}{3}\pi R^3) = \frac{M}{8}$

Координата центра масс $x_ц$ системы (шара с вырезом) находится по формуле:

$x_ц = \frac{M \cdot x_1 - m \cdot x_2}{M - m}$

Подставим известные значения и выражения:

$x_ц = \frac{M \cdot 0 - \frac{M}{8} \cdot \frac{R}{2}}{M - \frac{M}{8}} = \frac{-\frac{MR}{16}}{\frac{7M}{8}}$

Сократим массу $M$ и упростим дробь:

$x_ц = -\frac{R}{16} \cdot \frac{8}{7} = -\frac{R}{14}$

Знак минус указывает, что центр тяжести сместился в сторону, противоположную вырезу, относительно центра исходного шара. Расстояние от центра сплошного шара до нового центра тяжести равно модулю этого значения:

$|x_ц| = \frac{R}{14}$

Подставим числовое значение радиуса $R$:

$|x_ц| = \frac{28 \text{ см}}{14} = 2 \text{ см}$

Ответ: центр тяжести шара с вырезом находится на расстоянии 2 см от центра сплошного шара.