Номер 704, страница 140 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Для решения задачи воспользуемся методом отрицательных масс. Суть метода заключается в том, что тело с вырезом можно представить как сплошное тело, из которого вычли другое тело (вырез), имеющее отрицательную массу. Координата центра масс ($x_c$) такой системы находится по формуле:

$x_c = \frac{m_1 x_1 - m_2 x_2}{m_1 - m_2}$

где $m_1$ и $x_1$ — масса и координата центра масс сплошного тела, а $m_2$ и $x_2$ — масса и координата центра масс вырезанной части.

Поскольку пластинка однородная, масса пропорциональна площади ($m = \sigma S$, где $\sigma$ — поверхностная плотность). Формулу можно переписать через площади:

$x_c = \frac{S_1 x_1 - S_2 x_2}{S_1 - S_2}$

Во всех случаях поместим начало отсчета (точку $O$) в центр масс сплошной пластинки. Тогда $x_1 = 0$, и расстояние $d$ от центра $O$ до нового центра тяжести будет равно модулю смещения:

$d = |x_c| = \left| \frac{-S_2 x_2}{S_1 - S_2} \right| = \frac{S_2 |x_2|}{S_1 - S_2}$

где $|x_2|$ — расстояние от центра сплошной пластинки до центра масс вырезанной части.

а) из круга радиусом R вырезано круглое отверстие радиусом R/2

Дано:
Радиус сплошной пластинки: $R$
Радиус вырезанного отверстия: $r = \frac{R}{2}$

Найти:
Расстояние $d$ от центра $O$ до центра тяжести пластинки с вырезом.

Решение:
Поместим начало координат в центр $O$ большого круга. Согласно рисунку, вырезанный круг касается большого, поэтому центр вырезанного круга смещен от центра $O$ на расстояние $|x_2| = R - r = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$.
Площадь сплошного круга: $S_1 = \pi R^2$.
Площадь вырезанного круга: $S_2 = \pi r^2 = \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{4}$.
Подставим эти значения в общую формулу для расстояния $d$:$d = \frac{S_2 |x_2|}{S_1 - S_2} = \frac{\frac{\pi R^2}{4} \cdot \frac{R}{2}}{\pi R^2 - \frac{\pi R^2}{4}} = \frac{\frac{\pi R^3}{8}}{\frac{3\pi R^2}{4}} = \frac{\pi R^3}{8} \cdot \frac{4}{3\pi R^2} = \frac{4\pi R^3}{24\pi R^2} = \frac{R}{6}$.
Ответ: $d = \frac{R}{6}$.

б) из квадратной пластинки со стороной a вырезан квадрат со стороной a/2

Дано:
Сторона сплошной квадратной пластинки: $a$
Сторона вырезанного квадрата: $\frac{a}{2}$

Найти:
Расстояние $d$ от центра $O$ до центра тяжести пластинки с вырезом.

Решение:
Поместим начало координат в центр $O$ большого квадрата. Согласно рисунку, вырезанный квадрат расположен в углу большого квадрата. Если стороны большого квадрата лежат на линиях $x = \pm a/2$ и $y = \pm a/2$, то вырезанный квадрат занимает область $0 \le x \le a/2$, $0 \le y \le a/2$.
Центр масс вырезанного квадрата находится в точке с координатами $(\frac{a}{4}, \frac{a}{4})$. Расстояние от центра $O$ до центра масс выреза: $|\vec{r}_2| = \sqrt{(\frac{a}{4})^2 + (\frac{a}{4})^2} = \sqrt{\frac{2a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{2}}{4}$.
Площадь большого квадрата: $S_1 = a^2$.
Площадь вырезанного квадрата: $S_2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$.
Подставим значения в формулу:$d = \frac{S_2 |\vec{r}_2|}{S_1 - S_2} = \frac{\frac{a^2}{4} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{4}}{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{\frac{a^3\sqrt{2}}{16}}{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a^3\sqrt{2}}{16} \cdot \frac{4}{3a^2} = \frac{4a^3\sqrt{2}}{48a^2} = \frac{a\sqrt{2}}{12}$.
Ответ: $d = \frac{a\sqrt{2}}{12}$.

в) из круга радиусом R вырезан квадрат, диагональ которого равна R

Дано:
Радиус сплошной круглой пластинки: $R$
Диагональ вырезанного квадрата: $d_{кв} = R$

Найти:
Расстояние $d$ от центра $O$ до центра тяжести пластинки с вырезом.

Решение:
Поместим начало координат в центр $O$ круга. Согласно рисунку, одна из вершин вырезанного квадрата совпадает с центром $O$, а его диагональ лежит на радиусе. Пусть эта диагональ лежит на оси Ox. Тогда вершины квадрата имеют координаты $(0,0)$, $(\frac{R}{2}, \frac{R}{2})$, $(R,0)$, $(\frac{R}{2}, -\frac{R}{2})$.
Центр масс такого квадрата находится в точке пересечения его диагоналей, то есть в точке с координатами $(\frac{R}{2}, 0)$. Расстояние от центра $O$ до центра масс выреза: $|x_2| = \frac{R}{2}$.
Площадь сплошного круга: $S_1 = \pi R^2$.
Площадь квадрата можно найти через его диагональ: $S_2 = \frac{d_{кв}^2}{2} = \frac{R^2}{2}$.
Подставим значения в формулу:$d = \frac{S_2 |x_2|}{S_1 - S_2} = \frac{\frac{R^2}{2} \cdot \frac{R}{2}}{\pi R^2 - \frac{R^2}{2}} = \frac{\frac{R^3}{4}}{R^2(\pi - \frac{1}{2})} = \frac{R}{4(\frac{2\pi - 1}{2})} = \frac{R}{2(2\pi - 1)}$.
Ответ: $d = \frac{R}{2(2\pi-1)}$.

г) из квадрата со стороной a вырезан круг радиусом a/4

Дано:
Сторона сплошной квадратной пластинки: $a$
Радиус вырезанного круга: $r = \frac{a}{4}$

Найти:
Расстояние $d$ от центра $O$ до центра тяжести пластинки с вырезом.

Решение:
Поместим начало координат в центр $O$ квадрата. Согласно рисунку, вырезанный круг касается одной из сторон квадрата, а его центр лежит на оси симметрии, проходящей через центр $O$. Пусть ось Ox проходит через центр круга. Тогда край квадрата находится на $x = a/2$.
Центр вырезанного круга смещен от края на расстояние, равное его радиусу. Координата центра выреза: $x_2 = \frac{a}{2} - r = \frac{a}{2} - \frac{a}{4} = \frac{a}{4}$. Расстояние от центра $O$ до центра масс выреза: $|x_2| = \frac{a}{4}$.
Площадь квадрата: $S_1 = a^2$.
Площадь вырезанного круга: $S_2 = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{4}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{16}$.
Подставим значения в формулу:$d = \frac{S_2 |x_2|}{S_1 - S_2} = \frac{\frac{\pi a^2}{16} \cdot \frac{a}{4}}{a^2 - \frac{\pi a^2}{16}} = \frac{\frac{\pi a^3}{64}}{a^2(1 - \frac{\pi}{16})} = \frac{\frac{\pi a}{64}}{\frac{16 - \pi}{16}} = \frac{\pi a}{64} \cdot \frac{16}{16 - \pi} = \frac{\pi a}{4(16 - \pi)}$.
Ответ: $d = \frac{\pi a}{4(16-\pi)}$.