Номер 700, страница 140 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Радиус медного шара: $R_1 = 5,8$ мм

Радиус алюминиевого шара: $R_2 = 5,8$ мм

Плотность меди (справочное значение): $\rho_1 = 8960$ кг/м³

Плотность алюминия (справочное значение): $\rho_2 = 2700$ кг/м³

$R = R_1 = R_2 = 5,8 \text{ мм} = 5,8 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Расстояние от центра медного шара до центра тяжести системы $x_c$.

Решение:

Центр тяжести системы тел находится на прямой, соединяющей их центры тяжести. Для однородных шаров их центры тяжести совпадают с их геометрическими центрами.

Выберем систему координат, направив ось Ox вдоль линии, соединяющей центры шаров. Поместим начало координат ($x=0$) в центр медного шара. Тогда координата центра тяжести медного шара $x_1 = 0$.

Так как шары соединены в точке касания, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $R + R = 2R$. Следовательно, координата центра тяжести алюминиевого шара будет $x_2 = 2R$.

Положение центра тяжести системы ($x_c$) определяется формулой:

$x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

где $m_1$ и $m_2$ — массы медного и алюминиевого шаров.

Массы шаров найдем через их плотности и объемы. Объем каждого шара одинаков и равен:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Масса медного шара: $m_1 = \rho_1 V = \rho_1 \frac{4}{3}\pi R^3$.

Масса алюминиевого шара: $m_2 = \rho_2 V = \rho_2 \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставим выражения для масс и координат в формулу для центра тяжести:

$x_c = \frac{(\rho_1 \frac{4}{3}\pi R^3) \cdot 0 + (\rho_2 \frac{4}{3}\pi R^3) \cdot 2R}{\rho_1 \frac{4}{3}\pi R^3 + \rho_2 \frac{4}{3}\pi R^3}$

Поскольку $x_1 = 0$, первое слагаемое в числителе равно нулю. Сократим общий множитель $\frac{4}{3}\pi R^3$ в числителе и знаменателе:

$x_c = \frac{\rho_2 \cdot 2R}{\rho_1 + \rho_2}$

Теперь подставим числовые значения:

$x_c = \frac{2700 \text{ кг/м³} \cdot 2 \cdot (5,8 \cdot 10^{-3} \text{ м})}{8960 \text{ кг/м³} + 2700 \text{ кг/м³}} = \frac{5400 \cdot 5,8 \cdot 10^{-3}}{11660} \text{ м}$

$x_c = \frac{31320 \cdot 10^{-3}}{11660} \text{ м} \approx 2,686 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры и округлим до двух значащих цифр, как в исходных данных:

$x_c \approx 2,686 \text{ мм} \approx 2,7 \text{ мм}$

Таким образом, центр тяжести системы находится на линии, соединяющей центры шаров, на расстоянии примерно 2,7 мм от центра медного шара в сторону алюминиевого.

Ответ: 2,7 мм.