Номер 780, страница 152 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Грузоподъемность шара-зонда, $m = 200$ кг.

Шар-зонд заполнен гелием.

Для оценки воспользуемся справочными данными для нормальных условий (температура 0°C, давление 1 атм):

Плотность воздуха: $\rho_{в} \approx 1.29$ кг/м³.

Плотность гелия: $\rho_{г} \approx 0.18$ кг/м³.

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8$ м/с².

Найти:

Размеры шара-зонда (радиус $R$ или диаметр $D$).

Решение:

Под грузоподъемностью понимают максимальную массу груза, который шар-зонд может поднять. Для того чтобы шар мог подняться вместе с грузом, действующая на него выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$ должна быть равна сумме сил тяжести, действующих на груз ($P_{груза}$), гелий внутри шара ($P_{гелия}$) и оболочку шара ($P_{об}$).

Для оценочного расчета мы можем пренебречь массой оболочки шара, так как она обычно значительно меньше массы поднимаемого груза и массы гелия в большом шаре.

Условие равновесия (или начала подъема) можно записать так:

$F_A = P_{груза} + P_{гелия}$

Сила Архимеда определяется весом вытесненного воздуха:

$F_A = \rho_{в} \cdot g \cdot V$

где $V$ - объем шара.

Вес груза:

$P_{груза} = m \cdot g$

Вес гелия внутри шара:

$P_{гелия} = m_{гелия} \cdot g = \rho_{г} \cdot g \cdot V$

Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:

$\rho_{в} \cdot g \cdot V = m \cdot g + \rho_{г} \cdot g \cdot V$

Сократим на $g$:

$\rho_{в} \cdot V = m + \rho_{г} \cdot V$

Выразим объем $V$:

$V \cdot (\rho_{в} - \rho_{г}) = m$

$V = \frac{m}{\rho_{в} - \rho_{г}}$

Подставим числовые значения:

$V = \frac{200 \text{ кг}}{(1.29 - 0.18) \text{ кг/м³}} = \frac{200}{1.11} \text{ м³} \approx 180.2 \text{ м³}$

Теперь, зная объем шара, можем найти его размеры. Объем шара вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

где $R$ - радиус шара.

Выразим радиус $R$:

$R^3 = \frac{3V}{4\pi}$

$R = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$

Подставим значение объема:

$R = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 180.2 \text{ м³}}{4 \cdot 3.14}} = \sqrt[3]{\frac{540.6}{12.56}} \text{ м} \approx \sqrt[3]{43.04} \text{ м} \approx 3.5 \text{ м}$

Диаметр шара-зонда будет равен:

$D = 2R \approx 2 \cdot 3.5 \text{ м} = 7 \text{ м}$

Таким образом, для подъема груза массой 200 кг потребуется шар-зонд диаметром около 7 метров.

Ответ: Оценочные размеры шара-зонда: радиус около $3.5$ м, диаметр около $7$ м.