Номер 777, страница 151 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

масса бетонной плиты $m = 500$ кг

масса одного бревна $m_1 = 25$ кг

плотность дерева $ρ_д = 0,55 \frac{г}{см^3}$

плотность бетона $ρ_б = 2,2 \frac{г}{см^3}$

плотность воды (справочное значение) $ρ_в = 1 \frac{г}{см^3}$

Перевод в систему СИ:

$ρ_д = 0,55 \frac{г}{см^3} = 550 \frac{кг}{м^3}$

$ρ_б = 2,2 \frac{г}{см^3} = 2200 \frac{кг}{м^3}$

$ρ_в = 1 \frac{г}{см^3} = 1000 \frac{кг}{м^3}$

Найти:

минимальное количество бревен $N$

Решение:

Для того чтобы плот с бетонной плитой мог плыть, необходимо, чтобы выталкивающая сила (сила Архимеда), действующая на погруженную в воду часть системы, была не меньше суммарной силы тяжести плота и плиты.

Условие плавания для минимально необходимого количества бревен соответствует случаю, когда система (плот и плита) полностью погружена в воду, обеспечивая максимальную выталкивающую силу. В этом предельном случае сила Архимеда равна суммарной силе тяжести:

$F_A = P_{общ}$

где $F_A$ – сила Архимеда, а $P_{общ}$ – суммарный вес плота и плиты.

Суммарный вес системы равен:

$P_{общ} = (m + M_{плота})g = (m + N \cdot m_1)g$

Здесь $N$ – искомое количество бревен, $m_1$ – масса одного бревна, $m$ – масса плиты, $g$ – ускорение свободного падения.

Сила Архимеда равна весу вытесненной воды. Так как мы рассматриваем случай полного погружения, объем вытесненной воды равен сумме объемов бревен и бетонной плиты.

$F_A = ρ_в \cdot V_{погр} \cdot g = ρ_в \cdot (V_{плота} + V_{плиты}) \cdot g$

Объем плота, состоящего из $N$ бревен, вычисляется как:

$V_{плота} = N \cdot V_1 = N \cdot \frac{m_1}{ρ_д}$

Объем бетонной плиты:

$V_{плиты} = \frac{m}{ρ_б}$

Подставляем выражения для объемов в формулу для силы Архимеда:

$F_A = ρ_в \cdot (N \frac{m_1}{ρ_д} + \frac{m}{ρ_б}) \cdot g$

Теперь приравниваем силу Архимеда и суммарный вес:

$ρ_в \cdot (N \frac{m_1}{ρ_д} + \frac{m}{ρ_б}) \cdot g = (m + N m_1) \cdot g$

Сокращаем $g$ и решаем получившееся уравнение относительно $N$:

$ρ_в N \frac{m_1}{ρ_д} + ρ_в \frac{m}{ρ_б} = m + N m_1$

Переносим слагаемые с $N$ в одну сторону:

$ρ_в N \frac{m_1}{ρ_д} - N m_1 = m - ρ_в \frac{m}{ρ_б}$

Выносим общие множители за скобки:

$N m_1 (\frac{ρ_в}{ρ_д} - 1) = m (1 - \frac{ρ_в}{ρ_б})$

Выражаем $N$:

$N = \frac{m (1 - \frac{ρ_в}{ρ_б})}{m_1 (\frac{ρ_в}{ρ_д} - 1)}$

Подставляем числовые значения в системе СИ:

$N = \frac{500 \text{ кг} \cdot (1 - \frac{1000 \text{ кг/м}^3}{2200 \text{ кг/м}^3})}{25 \text{ кг} \cdot (\frac{1000 \text{ кг/м}^3}{550 \text{ кг/м}^3} - 1)}$

$N = \frac{500 \cdot (1 - \frac{10}{22})}{25 \cdot (\frac{100}{55} - 1)} = \frac{500 \cdot (1 - \frac{5}{11})}{25 \cdot (\frac{20}{11} - 1)}$

$N = \frac{500 \cdot \frac{6}{11}}{25 \cdot \frac{9}{11}} = \frac{500 \cdot 6}{25 \cdot 9} = \frac{20 \cdot 6}{9} = \frac{120}{9} = \frac{40}{3} \approx 13,33$

Поскольку количество бревен может быть только целым числом, а 13 бревен будет недостаточно для удержания плиты на плаву (в этом случае система утонет), необходимо округлить полученное значение в большую сторону.

Следовательно, минимальное количество бревен равно 14.

Ответ: 14.