Номер 770, страница 150 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Доля длины палочки, погруженная в воду, $\epsilon = 40\%$

Плотность воды, $\rho_в = 1000 \, \text{кг/м}^3$

Перевод в систему СИ:

$\epsilon = 0.4$

Найти:

Плотность материала палочки, $\rho_{пал}$

Решение:

Палочка, шарнирно закрепленная за верхний конец, может находиться в равновесии. Для анализа устойчивости этого равновесия рассмотрим потенциальную энергию системы «палочка + вода» в зависимости от угла отклонения палочки от вертикали $\alpha$.

Потенциальную энергию системы можно записать как сумму потенциальной энергии палочки и потенциальной энергии вытесненной ею воды (взятой с обратным знаком). Уровень отсчета потенциальной энергии ($y=0$) выберем на уровне шарнира (точки подвеса).

1. Потенциальная энергия палочки:

Сила тяжести $F_g = m_{пал} g = \rho_{пал} V_{пал} g = \rho_{пал} L S g$, где $L$ – длина палочки, а $S$ – площадь ее поперечного сечения. Сила тяжести приложена к центру масс, который для однородной палочки находится на расстоянии $L/2$ от точки подвеса. Координата центра масс: $y_{g} = -\frac{L}{2} \cos\alpha$.

Потенциальная энергия палочки: $U_g = m_{пал} g y_g = - \rho_{пал} L S g \frac{L}{2} \cos\alpha$.

2. Потенциальная энергия, связанная с силой Архимеда:

Сила Архимеда $F_A = \rho_в g V_{sub} = \rho_в g (\epsilon L S)$. Эта сила приложена к центру масс погруженной части (центру плавучести). Погруженная часть имеет длину $\epsilon L$. Ее центр находится на расстоянии $\epsilon L / 2$ от нижнего конца палочки, или на расстоянии $d_A = L - \frac{\epsilon L}{2}$ от точки подвеса. Координата центра плавучести: $y_A = -(L - \frac{\epsilon L}{2}) \cos\alpha$.

Эффективная потенциальная энергия, связанная с выталкивающей силой, равна $U_A = -F_A y_A = -(\rho_в g \epsilon L S) \cdot (-(L - \frac{\epsilon L}{2}) \cos\alpha) = \rho_в g \epsilon L S (L - \frac{\epsilon L}{2}) \cos\alpha$.

3. Полная потенциальная энергия системы:

$U(\alpha) = U_g + U_A = [- \rho_{пал} \frac{L^2 S g}{2} + \rho_в \epsilon L^2 S g (1 - \frac{\epsilon}{2})] \cos\alpha$.

Равновесие достигается при $\frac{dU}{d\alpha} = 0$.

$\frac{dU}{d\alpha} = - [- \rho_{пал} \frac{L^2 S g}{2} + \rho_в \epsilon L^2 S g (1 - \frac{\epsilon}{2})] \sin\alpha = 0$.

Это уравнение выполняется при $\alpha = 0$ (вертикальное положение) или если выражение в квадратных скобках равно нулю.

Равновесие является устойчивым, если потенциальная энергия в положении равновесия минимальна, то есть $\frac{d^2 U}{d\alpha^2} > 0$.

$\frac{d^2 U}{d\alpha^2} = - [- \rho_{пал} \frac{L^2 S g}{2} + \rho_в \epsilon L^2 S g (1 - \frac{\epsilon}{2})] \cos\alpha$.

В положении $\alpha=0$: $\frac{d^2 U}{d\alpha^2}|_{\alpha=0} = [\rho_{пал} \frac{L^2 S g}{2} - \rho_в \epsilon L^2 S g (1 - \frac{\epsilon}{2})]$.

В условии задачи говорится, что палочка находится в "устойчивом равновесии", но не уточняется, в каком именно. Такая формулировка в задачах часто относится к граничному случаю, когда система переходит из одного типа устойчивости в другой, то есть к состоянию безразличного (нейтрального) равновесия. Это состояние наступает, когда полная потенциальная энергия не зависит от угла, что эквивалентно равенству нулю второй производной в положении равновесия.

$\frac{d^2 U}{d\alpha^2}|_{\alpha=0} = 0$

$\rho_{пал} \frac{L^2 S g}{2} - \rho_в \epsilon L^2 S g (1 - \frac{\epsilon}{2}) = 0$.

Сократим общие множители $L^2 S g / 2$:

$\rho_{пал} - 2 \rho_в \epsilon (1 - \frac{\epsilon}{2}) = 0$

$\rho_{пал} = 2 \rho_в \epsilon (1 - \frac{\epsilon}{2}) = \rho_в \epsilon (2 - \epsilon)$.

Подставим числовые значения:

$\rho_{пал} = 1000 \, \text{кг/м}^3 \cdot 0.4 \cdot (2 - 0.4) = 400 \cdot 1.6 = 640 \, \text{кг/м}^3$.

Ответ: Плотность материала палочки равна $640 \, \text{кг/м}^3$.