Номер 764, страница 149 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$S_0 = 10 \text{ см}^2$

$h_0 = 1.8 \text{ см}$

$a = 10 \text{ мм}$

$\rho_0 = 1.0 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

$\rho = 0.40 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

Переведем все величины в единую систему измерений (СГС: сантиметр, грамм, секунда).

$S_0 = 10 \text{ см}^2$

$h_0 = 1.8 \text{ см}$

$a = 10 \text{ мм} = 1 \text{ см}$

$\rho_0 = 1.0 \text{ г/см}^3$

$\rho = 0.40 \text{ г/см}^3$

Найти:

Минимальное количество кубиков $N_{min}$.

Решение:

Пусть $N$ — это искомое количество кубиков. Кубики кладут друг на друга, образуя столбик. Когда этот столбик плавает в воде, на него действует сила тяжести и выталкивающая сила Архимеда.

Масса одного кубика: $m = \rho \cdot V_{кубика} = \rho a^3$.

Общая масса $N$ кубиков: $M = N \cdot m = N \rho a^3$.

Сила тяжести, действующая на столбик из $N$ кубиков: $F_T = M g = N \rho a^3 g$.

Пусть столбик погружен в воду на глубину $h_{погр}$. Объем погруженной части столбика равен $V_{погр} = a^2 h_{погр}$.

Выталкивающая сила Архимеда: $F_A = \rho_0 g V_{погр} = \rho_0 g a^2 h_{погр}$.

Пока столбик плавает, силы уравновешены: $F_T = F_A$.

$N \rho a^3 g = \rho_0 g a^2 h_{погр}$

Отсюда можно выразить глубину погружения столбика:

$h_{погр} = \frac{N \rho a}{\rho_0}$

При погружении столбика уровень воды в сосуде поднимается. Объем вытесненной воды $V_{погр}$ распределяется по свободной площади поверхности воды в сосуде, которая равна $S_{своб} = S_0 - a^2$.

Подъем уровня воды $\Delta h$ составит:

$\Delta h = \frac{V_{погр}}{S_0 - a^2} = \frac{a^2 h_{погр}}{S_0 - a^2}$

Новый уровень воды в сосуде $h$ будет равен сумме начального уровня и подъема:

$h = h_0 + \Delta h = h_0 + \frac{a^2 h_{погр}}{S_0 - a^2}$

Нижний кубик коснется дна сосуда, когда глубина погружения столбика $h_{погр}$ станет равна новому уровню воды $h$. Для нахождения минимального количества кубиков решим уравнение $h_{погр} = h$.

$h_{погр} = h_0 + \frac{a^2 h_{погр}}{S_0 - a^2}$

Перенесем члены с $h_{погр}$ в одну сторону:

$h_{погр} - \frac{a^2 h_{погр}}{S_0 - a^2} = h_0$

$h_{погр} \left(1 - \frac{a^2}{S_0 - a^2}\right) = h_0$

$h_{погр} \left(\frac{S_0 - a^2 - a^2}{S_0 - a^2}\right) = h_0$

$h_{погр} = h_0 \frac{S_0 - a^2}{S_0 - 2a^2}$

Теперь подставим в это выражение ранее найденную формулу для $h_{погр} = \frac{N \rho a}{\rho_0}$:

$\frac{N \rho a}{\rho_0} = h_0 \frac{S_0 - a^2}{S_0 - 2a^2}$

Выразим отсюда $N$:

$N = \frac{h_0 \rho_0}{a \rho} \frac{S_0 - a^2}{S_0 - 2a^2}$

Подставим числовые значения:

$S_0 = 10 \text{ см}^2$, $a = 1 \text{ см}$, $h_0 = 1.8 \text{ см}$, $\rho_0 = 1.0 \text{ г/см}^3$, $\rho = 0.40 \text{ г/см}^3$.

$N = \frac{1.8 \cdot 1.0}{1 \cdot 0.40} \cdot \frac{10 - 1^2}{10 - 2 \cdot 1^2} = \frac{1.8}{0.4} \cdot \frac{9}{8} = 4.5 \cdot 1.125 = 5.0625$

Так как количество кубиков $N$ должно быть целым числом, а мы ищем минимальное количество, при котором дно будет достигнуто, необходимо округлить полученное значение до ближайшего большего целого числа.

$N_{min} = 6$

Ответ: 6 кубиков.