Номер 768, страница 149 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:
Установившаяся скорость одного шарика в жидкости: $v_0$
Плотность материала шарика: $\rho$
Плотность жидкости: $\rho_ж$
Условие: $\rho > \rho_ж$
Сила сопротивления жидкости прямо пропорциональна скорости: $F_{сопр} = k \cdot v$

Найти:
Модуль установившейся скорости системы шариков: $v$

Решение:

Сначала рассмотрим движение одного неприкрепленного шарика, падающего в жидкости. Когда он достигает установившейся скорости $v_0$, сумма всех действующих на него сил становится равной нулю. На шарик действуют:

1. Сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз.

2. Сила Архимеда (выталкивающая сила) $F_A = \rho_ж V g$, направленная вертикально вверх.

3. Сила сопротивления жидкости $F_{сопр,0} = k v_0$, направленная вертикально вверх (против направления движения).

Здесь $m$ — масса шарика, $V$ — его объем, $g$ — ускорение свободного падения, а $k$ — коэффициент пропорциональности силы сопротивления.

Условие равновесия сил (согласно второму закону Ньютона при нулевом ускорении) в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$F_g - F_A - F_{сопр,0} = 0$

Выразим массу шарика через его плотность и объем: $m = \rho V$. Подставим в уравнение:

$\rho V g - \rho_ж V g - k v_0 = 0$

Из этого соотношения мы можем выразить произведение $k v_0$:

$k v_0 = (\rho - \rho_ж) V g$ (1)

Теперь рассмотрим систему из двух шариков, связанных нитью через блок. Один шарик (шарик 1) находится в воздухе, а другой (шарик 2) — полностью погружен в жидкость.

Определим, в каком направлении будет двигаться система. Сила, с которой шарик 1 тянет нить вниз, равна его весу $mg = \rho V g$. Сила, с которой шарик 2 тянет нить вниз, равна его весу в жидкости: $F' = mg - F_A = \rho V g - \rho_ж V g = (\rho - \rho_ж)Vg$.

Поскольку по условию $\rho > \rho_ж$, то $\rho_ж > 0$, и, следовательно, $\rho > \rho - \rho_ж$. Отсюда следует, что $mg > F'$. Таким образом, шарик 1 в воздухе будет опускаться, а шарик 2 в жидкости — подниматься.

Когда система движется с установившейся скоростью $v$, её ускорение равно нулю. Это означает, что равнодействующая всех внешних сил, приложенных к системе, равна нулю. Запишем уравнение движения для системы в целом, спроецировав силы на направление движения (вниз для шарика 1, вверх для шарика 2):

Силы, направленные в сторону движения (движущие силы):

• Сила тяжести шарика 1: $mg$.

• Сила Архимеда, действующая на шарик 2 (направлена вверх, что совпадает с направлением его движения): $F_A$.

Силы, направленные против движения (тормозящие силы):

• Сила тяжести шарика 2: $mg$.

• Сила сопротивления жидкости, действующая на шарик 2 (направлена вниз, против его движения): $F_{сопр} = k v$.

Уравнение равновесия сил для всей системы:

$(mg + F_A) - (mg + F_{сопр}) = 0$

$F_A - F_{сопр} = 0$, откуда $F_A = F_{сопр}$.

Подставим выражения для этих сил:

$\rho_ж V g = k v$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $k v_0 = (\rho - \rho_ж) V g$

2) $k v = \rho_ж V g$

Чтобы найти искомую скорость $v$, разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{k v}{k v_0} = \frac{\rho_ж V g}{(\rho - \rho_ж) V g}$

Сокращаем одинаковые множители ($k$, $V$ и $g$) в левой и правой частях:

$\frac{v}{v_0} = \frac{\rho_ж}{\rho - \rho_ж}$

Наконец, выражаем отсюда искомую скорость $v$:

$v = v_0 \frac{\rho_ж}{\rho - \rho_ж}$

Ответ: $v = v_0 \frac{\rho_ж}{\rho - \rho_ж}$