Номер 765, страница 149 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано

$V = 16 \text{ см}^3$

Плотность воды (табличное значение): $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность керосина (табличное значение): $\rho_к = 800 \text{ кг/м}^3$

Перевод в систему СИ:
$V = 16 \times (10^{-2} \text{ м})^3 = 16 \times 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:

$V_{пол}$ - ?

Решение

Рассмотрим два состояния шара.

1. Начальное состояние

Полый шар плавает на границе раздела двух жидкостей. Половина его объема ($V/2$) находится в воде, а другая половина ($V/2$) — в керосине. Согласно условию плавания тел, сила тяжести, действующая на шар, уравновешивается суммой выталкивающих (архимедовых) сил со стороны воды и керосина.

$F_g = F_{Ав} + F_{Ак}$

где $F_g = m_{об} g$ – сила тяжести оболочки шара, $m_{об}$ – масса оболочки.

$F_{Ав} = \rho_в g \frac{V}{2}$ – выталкивающая сила со стороны воды.

$F_{Ак} = \rho_к g \frac{V}{2}$ – выталкивающая сила со стороны керосина.

Подставим выражения в условие равновесия:

$m_{об} g = \rho_в g \frac{V}{2} + \rho_к g \frac{V}{2}$

Сократим обе части уравнения на $g$ и найдем массу оболочки шара:

$m_{об} = (\rho_в + \rho_к) \frac{V}{2}$

2. Конечное состояние

После того как полость шара объемом $V_{пол}$ заполнилась керосином, шар стал плавать, полностью погрузившись в воду. Общая масса шара теперь равна массе оболочки $m_{об}$ плюс масса керосина $m_к$ в полости.

$M = m_{об} + m_к = m_{об} + \rho_к V_{пол}$

Новая сила тяжести: $F'_g = M g = (m_{об} + \rho_к V_{пол}) g$.

Так как шар полностью погружен в воду, выталкивающая сила со стороны воды равна:

$F'_{Ав} = \rho_в g V$

По условию плавания $F'_g = F'_{Ав}$:

$(m_{об} + \rho_к V_{пол}) g = \rho_в g V$

Сократим на $g$:

$m_{об} + \rho_к V_{пол} = \rho_в V$

3. Вычисление объема полости

Теперь подставим выражение для массы оболочки $m_{об}$ из первого случая во второе уравнение:

$(\rho_в + \rho_к) \frac{V}{2} + \rho_к V_{пол} = \rho_в V$

Выразим из этого уравнения искомый объем полости $V_{пол}$:

$\rho_к V_{пол} = \rho_в V - (\rho_в + \rho_к) \frac{V}{2}$

$\rho_к V_{пол} = \rho_в V - \frac{\rho_в V}{2} - \frac{\rho_к V}{2}$

$\rho_к V_{пол} = \frac{\rho_в V}{2} - \frac{\rho_к V}{2}$

$\rho_к V_{пол} = (\rho_в - \rho_к) \frac{V}{2}$

$V_{пол} = \frac{\rho_в - \rho_к}{\rho_к} \cdot \frac{V}{2}$

Для удобства вычислений воспользуемся значениями в г/см³: $\rho_в = 1 \text{ г/см}^3$, $\rho_к = 0.8 \text{ г/см}^3$.

$V_{пол} = \frac{1 \text{ г/см}^3 - 0.8 \text{ г/см}^3}{0.8 \text{ г/см}^3} \cdot \frac{16 \text{ см}^3}{2} = \frac{0.2}{0.8} \cdot 8 \text{ см}^3 = \frac{1}{4} \cdot 8 \text{ см}^3 = 2 \text{ см}^3$

Ответ: объем полости равен $2 \text{ см}^3$.