Номер 772, страница 150 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Отношение плеч $l_1 : l_2 = 1 : 2$

Отношение плотностей $n = 2,5$

Плотность воды $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Плотности веществ шаров $\rho_1$ и $\rho_2 - ?$

Решение:

Пусть параметры первого шара обозначаются индексом 1, а второго — индексом 2. Изначально шары уравновешены на стержне, при этом их плечи соотносятся как $1:2$. Пусть первый шар находится на коротком плече $l_1 = l$, тогда второй шар находится на длинном плече $l_2 = 2l$.

Запишем условие равновесия рычага (равенство моментов сил) для начального состояния в воздухе:

$M_1 = M_2 \implies m_1 g l_1 = m_2 g l_2$

Подставим значения плеч $l_1=l$ и $l_2=2l$ и сократим на $g l$:

$m_1 l = m_2 (2l) \implies m_1 = 2m_2$

Из этого соотношения следует, что шар, находящийся на коротком плече (шар 1), является «более тяжелым», а шар на длинном плече (шар 2) — «более легким».

Согласно условию, плотность вещества более тяжелого шара ($\rho_1$) в $n = 2,5$ раза меньше плотности вещества более легкого шара ($\rho_2$). Математически это записывается как:

$\rho_2 = n \rho_1$

Теперь выразим массы шаров через их плотности и объемы ($m = \rho V$) и подставим в соотношение масс $m_1 = 2m_2$:

$\rho_1 V_1 = 2 \rho_2 V_2$

Подставим в это уравнение соотношение плотностей $\rho_2 = n \rho_1$:

$\rho_1 V_1 = 2 (n \rho_1) V_2$

Сократив на $\rho_1$, найдем соотношение объемов шаров:

$V_1 = 2n V_2$

После погружения шаров в воду равновесие нарушилось. Для его восстановления шары поменяли местами. Теперь тяжелый шар 1 находится на длинном плече $l_2 = 2l$, а легкий шар 2 — на коротком плече $l_1 = l$.

В воде на каждый шар действует сила тяжести (направлена вниз) и выталкивающая сила Архимеда $F_А = \rho_в g V$ (направлена вверх), где $\rho_в$ — плотность воды. Условие равновесия для нового положения шаров:

$(m_1 g - F_{А1}) l_2 = (m_2 g - F_{А2}) l_1$

Подставим выражения для масс, сил Архимеда и плеч:

$(\rho_1 V_1 g - \rho_в V_1 g) (2l) = (\rho_2 V_2 g - \rho_в V_2 g) l$

Вынесем общие множители за скобки и сократим уравнение на $g l$:

$2 (\rho_1 - \rho_в) V_1 = (\rho_2 - \rho_в) V_2$

Теперь подставим в это уравнение найденное ранее соотношение объемов $V_1 = 2n V_2$:

$2 (\rho_1 - \rho_в) (2n V_2) = (\rho_2 - \rho_в) V_2$

Сократим обе части на $V_2$, так как объем шара не может быть равен нулю:

$4n (\rho_1 - \rho_в) = \rho_2 - \rho_в$

Используем соотношение плотностей $\rho_2 = n \rho_1$, чтобы получить уравнение с одной неизвестной $\rho_1$:

$4n (\rho_1 - \rho_в) = n \rho_1 - \rho_в$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$4n \rho_1 - 4n \rho_в = n \rho_1 - \rho_в$

$4n \rho_1 - n \rho_1 = 4n \rho_в - \rho_в$

$3n \rho_1 = (4n - 1) \rho_в$

$\rho_1 = \frac{4n - 1}{3n} \rho_в$

Подставим числовые значения $n=2,5$ и $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$:

$\rho_1 = \frac{4 \cdot 2,5 - 1}{3 \cdot 2,5} \cdot 1000 = \frac{10 - 1}{7,5} \cdot 1000 = \frac{9}{7,5} \cdot 1000 = 1,2 \cdot 1000 = 1200 \text{ кг/м}^3$

Теперь найдем плотность второго (более легкого по массе) шара:

$\rho_2 = n \rho_1 = 2,5 \cdot 1200 = 3000 \text{ кг/м}^3$

Ответ: плотность вещества более тяжелого шара составляет $1200 \text{ кг/м}^3$, а плотность вещества более легкого шара — $3000 \text{ кг/м}^3$.