Номер 766, страница 149 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:
Толщина бруска $H = 5,0 \text{ см} = 0,05 \text{ м}$
Начальная глубина погружения в воду $h_1 = 3,5 \text{ см} = 0,035 \text{ м}$
Толщина слоя керосина $h_2 = 2,0 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$
Плотность воды (табличное значение) $ρ_в = 1000 \text{ кг/м³}$
Плотность керосина (табличное значение) $ρ_к = 800 \text{ кг/м³}$

Найти:
Высоту выступающей в воздухе части бруска после добавления керосина, $h_{возд}$ - ?

Решение:
1. Сначала рассмотрим брусок, плавающий в воде. По условию плавания тел, сила тяжести, действующая на брусок, уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда).
$F_т = F_{А1}$
Пусть $S$ - площадь основания бруска, $ρ_б$ - плотность материала бруска. Тогда сила тяжести равна $F_т = m_б g = ρ_б V_б g = ρ_б S H g$.
Выталкивающая сила, действующая на брусок в воде, равна $F_{А1} = ρ_в g V_{погр1} = ρ_в g S h_1$.
Приравнивая эти силы, получаем:
$ρ_б S H g = ρ_в g S h_1$
Отсюда можем выразить плотность бруска:
$ρ_б = ρ_в \frac{h_1}{H}$
Эта формула показывает, что плотность бруска нам известна через известные величины.

2. Теперь рассмотрим второй случай, когда поверх воды налит слой керосина. Брусок будет плавать, будучи частично погруженным и в воду, и в керосин. Сила тяжести бруска осталась прежней, а выталкивающая сила теперь складывается из двух частей: силы Архимеда со стороны воды ($F_{А_в}$) и силы Архимеда со стороны керосина ($F_{А_к}$).
$F_т = F_{А_в} + F_{А_к}$
Пусть $h_в'$ - новая глубина погружения части бруска в воду. Поскольку толщина слоя керосина $h_2$, а брусок плавает, проходя через этот слой, высота части бруска, погруженной в керосин, будет равна $h_2$.
Тогда $F_{А_в} = ρ_в g (S h_в')$ и $F_{А_к} = ρ_к g (S h_2)$.
Запишем новое условие равновесия:
$ρ_б S H g = ρ_в g S h_в' + ρ_к g S h_2$
Сократив на $S g$, получим:
$ρ_б H = ρ_в h_в' + ρ_к h_2$

3. Подставим в это уравнение выражение для $ρ_б$ из первого шага:
$(ρ_в \frac{h_1}{H}) H = ρ_в h_в' + ρ_к h_2$
$ρ_в h_1 = ρ_в h_в' + ρ_к h_2$
Выразим отсюда новую глубину погружения в воду $h_в'$:
$ρ_в h_в' = ρ_в h_1 - ρ_к h_2$
$h_в' = h_1 - \frac{ρ_к}{ρ_в} h_2$
Подставим числовые значения (можно вычислять в сантиметрах, так как это отношение):
$h_в' = 3,5 \text{ см} - \frac{800 \text{ кг/м³}}{1000 \text{ кг/м³}} \cdot 2,0 \text{ см} = 3,5 \text{ см} - 0,8 \cdot 2,0 \text{ см} = 3,5 \text{ см} - 1,6 \text{ см} = 1,9 \text{ см}$

4. Общая высота погруженной части бруска $h_{погр}$ равна сумме высот частей в воде и керосине:
$h_{погр} = h_в' + h_2 = 1,9 \text{ см} + 2,0 \text{ см} = 3,9 \text{ см}$
Тогда высота выступающей в воздухе части бруска $h_{возд}$ равна разности полной высоты бруска и высоты его погруженной части:
$h_{возд} = H - h_{погр} = 5,0 \text{ см} - 3,9 \text{ см} = 1,1 \text{ см}$

Ответ: высота выступающей в воздухе части бруска будет равна 1,1 см.