Номер 761, страница 148 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$F_1 = 0,24 \text{ Н}$ (вес в воде)

$F_2 = 0,33 \text{ Н}$ (вес в бензине)

$\rho_а = 2,7 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$ (плотность алюминия)

$\rho_б = 0,70 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$ (плотность бензина)

Плотность воды $\rho_в = 1,0 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$ (стандартное значение).

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$.

Перевод всех данных в систему СИ:

$\rho_а = 2,7 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 2,7 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 2700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$\rho_б = 0,70 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 0,70 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$\rho_в = 1,0 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 1,0 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

$V_{п}$ — объем полости в шаре.

Решение:

Пусть $V$ — это полный (внешний) объем шара, $V_a$ — объем алюминия, из которого сделан шар, и $V_п$ — объем внутренней полости. Тогда полный объем шара равен сумме объема материала и объема полости: $V = V_a + V_п$.

Вес шара в воздухе (сила тяжести) равен $P = m g$, где $m = \rho_a V_a$ — масса алюминия. Таким образом, $P = \rho_a V_a g$.

Когда шар полностью погружен в жидкость, показания динамометра $F$ (вес в жидкости) равны разности между силой тяжести $P$ и выталкивающей силой Архимеда $F_A$. Сила Архимеда определяется как $F_A = \rho_{ж} g V$, где $\rho_{ж}$ — плотность жидкости, а $V$ — объем погруженной части тела (в нашем случае — полный объем шара).

Запишем уравнения для взвешивания шара в воде и в бензине:

1. В воде: $F_1 = P - F_{А,в} = \rho_a V_a g - \rho_в V g$

2. В бензине: $F_2 = P - F_{А,б} = \rho_a V_a g - \rho_б V g$

Получилась система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $V$ и $V_a$.

Для нахождения полного объема шара $V$ вычтем первое уравнение из второго:

$F_2 - F_1 = (\rho_a V_a g - \rho_б V g) - (\rho_a V_a g - \rho_в V g)$

$F_2 - F_1 = \rho_a V_a g - \rho_б V g - \rho_a V_a g + \rho_в V g$

$F_2 - F_1 = gV(\rho_в - \rho_б)$

Отсюда выразим полный объем шара $V$:

$V = \frac{F_2 - F_1}{g(\rho_в - \rho_б)}$

Подставим числовые значения:

$V = \frac{0,33 \text{ Н} - 0,24 \text{ Н}}{10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot (1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})} = \frac{0,09 \text{ Н}}{10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 300 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = \frac{0,09}{3000} \text{ м}^3 = 3 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Теперь найдем объем алюминия $V_a$. Для этого выразим $V_a$ из первого уравнения:

$F_1 = g(\rho_a V_a - \rho_в V)$

$\frac{F_1}{g} = \rho_a V_a - \rho_в V$

$\rho_a V_a = \frac{F_1}{g} + \rho_в V$

$V_a = \frac{1}{\rho_a} \left( \frac{F_1}{g} + \rho_в V \right)$

Подставим известные значения:

$V_a = \frac{1}{2700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} \left( \frac{0,24 \text{ Н}}{10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}} + 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 3 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 \right)$

$V_a = \frac{1}{2700} \left( 0,024 \text{ кг} + 0,03 \text{ кг} \right) = \frac{0,054}{2700} \text{ м}^3 = \frac{54 \cdot 10^{-3}}{27 \cdot 10^2} \text{ м}^3 = 2 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Объем полости $V_п$ равен разности между полным объемом шара и объемом алюминия:

$V_п = V - V_a = 3 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 - 2 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 = 1 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Для наглядности можно перевести результат в кубические сантиметры, зная, что $1 \text{ м}^3 = 10^6 \text{ см}^3$:

$V_п = 1 \cdot 10^{-5} \cdot 10^6 \text{ см}^3 = 10 \text{ см}^3$

Ответ: объем полости в шаре равен $1 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$ (или $10 \text{ см}^3$).