Номер 757, страница 148 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса стакана $m = 30$ г

Высота стакана $H = 10$ см

Площадь дна стакана $S = 60$ см²

Жидкость в сосуде - керосин (плотность $\rho_к \approx 800$ кг/м³)

Жидкость в стакане - вода (плотность $\rho_в = 1000$ кг/м³)

Перевод в систему СИ:

$m = 30 \text{ г} = 0.03 \text{ кг}$

$H = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$S = 60 \text{ см}^2 = 60 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 60 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.006 \text{ м}^2$

Найти:

Максимальную высоту слоя воды $h_в$ в стакане, при которой он не утонет.

Решение:

Стакан с водой будет плавать до тех пор, пока действующая на него сила тяжести не превысит максимальную выталкивающую силу (силу Архимеда). Предельный случай, при котором стакан еще не тонет, соответствует моменту, когда он погружен в керосин полностью, до самых краев. В этом случае сила тяжести стакана с водой уравновешивается максимальной силой Архимеда.

Условие равновесия в предельном случае:

$F_{тяж} = F_{А, макс}$

Сила тяжести $F_{тяж}$ складывается из силы тяжести самого стакана ($mg$) и силы тяжести налитой в него воды ($m_в g$):

$F_{тяж} = (m + m_в)g$

Массу воды $m_в$ можно выразить через ее плотность $\rho_в$, площадь дна стакана $S$ и искомую максимальную высоту слоя воды $h_в$:

$m_в = \rho_в \cdot V_в = \rho_в \cdot S \cdot h_в$

Таким образом, общая сила тяжести равна:

$F_{тяж} = (m + \rho_в S h_в)g$

Максимальная выталкивающая сила $F_{А, макс}$ равна весу керосина, вытесненного стаканом при полном погружении на высоту $H$:

$F_{А, макс} = \rho_к g V_{погр}$

где $V_{погр}$ - объем погруженной части стакана, который в предельном случае равен полному объему стакана $V = S \cdot H$.

$F_{А, макс} = \rho_к g S H$

Теперь приравняем выражения для силы тяжести и максимальной силы Архимеда:

$(m + \rho_в S h_в)g = \rho_к g S H$

Сократим обе части уравнения на ускорение свободного падения $g$:

$m + \rho_в S h_в = \rho_к S H$

Выразим отсюда максимальную высоту воды $h_в$:

$\rho_в S h_в = \rho_к S H - m$

$h_в = \frac{\rho_к S H - m}{\rho_в S}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$h_в = \frac{800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.006 \text{ м}^2 \cdot 0.1 \text{ м} - 0.03 \text{ кг}}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.006 \text{ м}^2} = \frac{0.48 \text{ кг} - 0.03 \text{ кг}}{6 \frac{\text{кг}}{\text{м}}} = \frac{0.45 \text{ кг}}{6 \frac{\text{кг}}{\text{м}}} = 0.075 \text{ м}$

Переведем полученное значение в сантиметры:

$h_в = 0.075 \text{ м} = 7.5 \text{ см}$

Так как $h_в = 7.5 \text{ см} < H = 10 \text{ см}$, вода не будет выливаться из стакана, и полученный результат является физически корректным.

Ответ: максимальная высота слоя воды в стакане, при котором он не утонет, составляет 7.5 см.