Номер 753, страница 147 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Доля погруженного объема $\varepsilon = 70\% = 0.7$
Плотность пластилина $\rho_п = 2.5 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$
Полный объем шара $V_0 = 1.0 \text{ дм}^3$
Плотность пресной воды (справочное значение) $\rho_в = 1 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

$\rho_п = 2.5 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 2.5 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 2500 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
$V_0 = 1.0 \text{ дм}^3 = 1.0 \cdot (10^{-1} \text{ м})^3 = 1.0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
$\rho_в = 1 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

$V_{пол}$

Решение:

Поскольку полый шар плавает в воде, это означает, что сила тяжести $F_g$, действующая на шар, уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда) $F_A$.

Условие плавания тела: $F_g = F_A$.

Сила тяжести определяется массой шара $m_ш$ и ускорением свободного падения $g$: $F_g = m_ш g$.

Масса шара — это масса пластилина, из которого он сделан. Она равна произведению плотности пластилина $\rho_п$ на объем самого пластилина $V_п$: $m_ш = \rho_п V_п$.

Полный объем шара $V_0$ складывается из объема пластилина $V_п$ и объема внутренней полости $V_{пол}$: $V_0 = V_п + V_{пол}$.

Отсюда можно выразить объем пластилина: $V_п = V_0 - V_{пол}$.

Тогда выражение для массы шара примет вид: $m_ш = \rho_п (V_0 - V_{пол})$.

Выталкивающая сила $F_A$ равна произведению плотности воды $\rho_в$, ускорения свободного падения $g$ и объема погруженной части шара $V_{погр}$: $F_A = \rho_в g V_{погр}$.

По условию задачи, шар погружен на $\varepsilon = 70\%$ своего объема, следовательно, объем погруженной части: $V_{погр} = \varepsilon V_0 = 0.7 V_0$.

Теперь подставим все полученные выражения в условие равновесия $F_g = F_A$:
$\rho_п (V_0 - V_{пол}) g = \rho_в (\varepsilon V_0) g$

Ускорение свободного падения $g$ можно сократить в обеих частях уравнения:
$\rho_п (V_0 - V_{пол}) = \rho_в \varepsilon V_0$

Наша цель — найти объем полости $V_{пол}$. Выразим его из этого уравнения:
$V_0 - V_{пол} = \frac{\rho_в \varepsilon V_0}{\rho_п}$
$V_{пол} = V_0 - \frac{\rho_в \varepsilon V_0}{\rho_п}$
$V_{пол} = V_0 \left(1 - \frac{\varepsilon \rho_в}{\rho_п}\right)$

Подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в СИ:
$V_{пол} = 1.0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot \left(1 - \frac{0.7 \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{2500 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}\right) = 1.0 \cdot 10^{-3} \left(1 - \frac{700}{2500}\right) = 1.0 \cdot 10^{-3} (1 - 0.28) = 1.0 \cdot 10^{-3} \cdot 0.72 = 0.72 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$.

Поскольку исходные данные были в дм³, переведем результат обратно в кубические дециметры, зная, что $1 \text{ дм}^3 = 10^{-3} \text{ м}^3$:
$V_{пол} = 0.72 \text{ дм}^3$.

Ответ: объем полости равен $0.72 \text{ дм}^3$.