Номер 746, страница 146 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Емкость бутылки (внутренний объем) $V = 500 \text{ см}^3$

Масса пустой бутылки $m_c = 450 \text{ г}$

Плотность стекла $\rho_c = 2,25 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

Плотность воды (справочное значение) $\rho_в = 1 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

Переведем данные в систему СИ:

$V = 500 \text{ см}^3 = 500 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 5 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

$m_c = 450 \text{ г} = 0,45 \text{ кг}$

$\rho_c = 2,25 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 2,25 \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 2250 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$\rho_в = 1 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Минимальный объем воды $V_в$, который нужно налить в бутылку, чтобы она утонула.

Решение:

Бутылка начнет тонуть, когда сила тяжести, действующая на бутылку с водой внутри, станет равной или большей максимальной выталкивающей силе (силе Архимеда), которая действует на полностью погруженное тело.

Условие потопления тела записывается как $F_{тяж} \ge F_A$.

Сила тяжести $F_{тяж}$ равна произведению суммарной массы бутылки с водой $M_{общ}$ на ускорение свободного падения $g$.

$F_{тяж} = M_{общ} \cdot g = (m_c + m_в) \cdot g$, где $m_c$ - масса стеклянной бутылки, а $m_в$ - масса налитой в нее воды. Массу воды $m_в$ можно выразить через ее объем $V_в$ и плотность $\rho_в$: $m_в = \rho_в \cdot V_в$.

Выталкивающая сила $F_A$ при полном погружении равна весу воды, вытесненной внешним объемом бутылки $V_{внеш}$:

$F_A = \rho_в \cdot V_{внеш} \cdot g$.

Внешний объем бутылки $V_{внеш}$ складывается из объема самого стекла $V_c$ и внутреннего объема (емкости) $V$. Объем стекла $V_c$ найдем, разделив массу стекла $m_c$ на его плотность $\rho_c$: $V_c = \frac{m_c}{\rho_c}$.

Таким образом, $V_{внеш} = \frac{m_c}{\rho_c} + V$.

Подставим все выражения в условие потопления:

$(m_c + \rho_в \cdot V_в) \cdot g \ge \rho_в \cdot (\frac{m_c}{\rho_c} + V) \cdot g$

Сократим обе части на $g$:

$m_c + \rho_в \cdot V_в \ge \rho_в \cdot (\frac{m_c}{\rho_c} + V)$

Выразим отсюда искомый минимальный объем воды $V_в$:

$\rho_в \cdot V_в \ge \rho_в \cdot V + \rho_в \frac{m_c}{\rho_c} - m_c$

$V_в \ge V + \frac{m_c}{\rho_c} - \frac{m_c}{\rho_в}$

Для удобства проведем вычисления в системе СГС, так как все исходные данные представлены в соответствующих единицах ($\text{г}$, $\text{см}^3$). Плотность воды в этой системе $\rho_в = 1 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$.

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$V_в \ge 500 \text{ см}^3 + \frac{450 \text{ г}}{2,25 \text{ г/см}^3} - \frac{450 \text{ г}}{1 \text{ г/см}^3}$

$V_в \ge 500 \text{ см}^3 + 200 \text{ см}^3 - 450 \text{ см}^3$

$V_в \ge 250 \text{ см}^3$

Минимальный объем воды, который необходимо налить, составляет $250 \text{ см}^3$. Этот объем меньше емкости бутылки ($250 \text{ см}^3 < 500 \text{ см}^3$), следовательно, решение физически возможно.

Ответ: минимальный объем воды, которую надо налить в бутылку, чтобы она утонула, равен $250 \text{ см}^3$.