Номер 747, страница 146 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Объем каждого шара: $V = 50 \text{ см}^3$

Доля погруженного объема верхнего шара: $\varepsilon = 80\% = 0.8$

Нижний шар погружен полностью.

Отношение плотностей материалов шаров: $\frac{\rho_Н}{\rho_В} = 9.0$

Плотность воды: $\rho_{воды} \approx 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ Н/кг}$

Перевод в СИ:

$V = 50 \text{ см}^3 = 50 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 50 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 5 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Найти:

Модуль силы натяжения нити $T$.

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на каждый шар в отдельности, когда система находится в равновесии. Обозначим величины, относящиеся к верхнему шару, индексом "В", а к нижнему — индексом "Н".

На верхний шар действуют три силы: сила тяжести $F_{т,В}$ (вниз), выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_{А,В}$ (вверх) и сила натяжения нити $T$ (вниз). Условие равновесия для верхнего шара:

$F_{А,В} = F_{т,В} + T$

На нижний шар действуют также три силы: сила тяжести $F_{т,Н}$ (вниз), сила Архимеда $F_{А,Н}$ (вверх) и сила натяжения нити $T$ (вверх). Условие равновесия для нижнего шара:

$F_{А,Н} + T = F_{т,Н}$

Расшифруем силы через известные величины:

Сила тяжести: $F_т = mg = \rho V g$

Сила Архимеда: $F_А = \rho_{воды} g V_{погр}$, где $V_{погр}$ — объем погруженной части тела.

Для верхнего шара: $F_{т,В} = \rho_В V g$, $F_{А,В} = \rho_{воды} g (\varepsilon V)$.

Для нижнего шара: $F_{т,Н} = \rho_Н V g$, $F_{А,Н} = \rho_{воды} g V$.

Запишем систему уравнений равновесия:

1. $\rho_{воды} g \varepsilon V = \rho_В V g + T$

2. $\rho_{воды} g V + T = \rho_Н V g$

Выразим силу натяжения $T$ из каждого уравнения:

Из (1): $T = \rho_{воды} g \varepsilon V - \rho_В V g = (\varepsilon \rho_{воды} - \rho_В)Vg$

Из (2): $T = \rho_Н V g - \rho_{воды} g V = (\rho_Н - \rho_{воды})Vg$

Приравняем правые части полученных выражений:

$(\varepsilon \rho_{воды} - \rho_В)Vg = (\rho_Н - \rho_{воды})Vg$

Сократим на $Vg$:

$\varepsilon \rho_{воды} - \rho_В = \rho_Н - \rho_{воды}$

Теперь используем данное в условии соотношение плотностей $\rho_Н = 9 \rho_В$:

$\varepsilon \rho_{воды} - \rho_В = 9 \rho_В - \rho_{воды}$

Соберем слагаемые с $\rho_В$ в одной части, а с $\rho_{воды}$ — в другой:

$\varepsilon \rho_{воды} + \rho_{воды} = 9 \rho_В + \rho_В$

$(1 + \varepsilon)\rho_{воды} = 10 \rho_В$

Отсюда можем найти плотность материала верхнего шара:

$\rho_В = \frac{1 + \varepsilon}{10}\rho_{воды}$

Подставим это выражение в формулу для силы натяжения, например, в первую:

$T = (\varepsilon \rho_{воды} - \rho_В)Vg = \left(\varepsilon \rho_{воды} - \frac{1 + \varepsilon}{10}\rho_{воды}\right)Vg$

Вынесем $\rho_{воды}$ за скобки:

$T = \rho_{воды} V g \left(\varepsilon - \frac{1 + \varepsilon}{10}\right) = \rho_{воды} V g \left(\frac{10\varepsilon - 1 - \varepsilon}{10}\right) = \rho_{воды} V g \frac{9\varepsilon - 1}{10}$

Теперь произведем вычисления, подставив числовые значения в системе СИ:

$T = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot (5 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3) \cdot 9.8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot \frac{9 \cdot 0.8 - 1}{10}$

$T = 1000 \cdot 5 \cdot 10^{-5} \cdot 9.8 \cdot \frac{7.2 - 1}{10}$

$T = 0.05 \cdot 9.8 \cdot \frac{6.2}{10}$

$T = 0.49 \cdot 0.62 = 0.3038 \text{ Н}$

Ответ: $T = 0.3038 \text{ Н}$.