Номер 750, страница 147 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$V_{п} = 15 \text{ дм}^3 = 15 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.015 \text{ м}^3$

$\rho_{м} = 8,0 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 8000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$\rho_{в} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность воды)

Найти:

$m$ — ?

Решение:

Поскольку шар плавает, это означает, что действующая на него сила тяжести $F_g$ уравновешена выталкивающей силой Архимеда $F_A$.

$F_g = F_A$

Сила тяжести равна $F_g = m \cdot g$, где $m$ — масса шара, а $g$ — ускорение свободного падения.

Выталкивающая сила Архимеда равна $F_A = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{погр}$, где $\rho_{в}$ — плотность воды, а $V_{погр}$ — объем погруженной части шара.

Приравняв эти силы, получим: $m \cdot g = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{погр}$.

Сократив $g$, получаем выражение для массы шара:

$m = \rho_{в} \cdot V_{погр}$

По условию задачи, шар погружен в воду наполовину. Это значит, что объем погруженной части $V_{погр}$ равен половине полного внешнего объема шара $V_{шара}$:

$V_{погр} = \frac{1}{2} V_{шара}$

Полный объем шара $V_{шара}$ состоит из объема металла $V_{м}$ и объема полости $V_{п}$:

$V_{шара} = V_{м} + V_{п}$

Масса шара — это масса металла, из которого он сделан (массой воздуха в полости пренебрегаем): $m = \rho_{м} \cdot V_{м}$. Отсюда можно выразить объем металла: $V_{м} = \frac{m}{\rho_{м}}$.

Теперь соберем все уравнения вместе. Подставим выражение для $V_{погр}$ в формулу для массы:

$m = \rho_{в} \cdot \frac{1}{2} V_{шара} = \frac{1}{2} \rho_{в} (V_{м} + V_{п})$

В это уравнение подставим выражение для $V_{м}$:

$m = \frac{1}{2} \rho_{в} (\frac{m}{\rho_{м}} + V_{п})$

Мы получили уравнение, в котором единственной неизвестной является искомая масса $m$. Решим его относительно $m$.

$m = \frac{\rho_{в} \cdot m}{2 \rho_{м}} + \frac{\rho_{в} \cdot V_{п}}{2}$

Перенесем слагаемые с $m$ в левую часть:

$m - \frac{\rho_{в} \cdot m}{2 \rho_{м}} = \frac{\rho_{в} \cdot V_{п}}{2}$

Вынесем $m$ за скобки:

$m \cdot (1 - \frac{\rho_{в}}{2 \rho_{м}}) = \frac{\rho_{в} \cdot V_{п}}{2}$

$m \cdot (\frac{2 \rho_{м} - \rho_{в}}{2 \rho_{м}}) = \frac{\rho_{в} \cdot V_{п}}{2}$

Выразим массу $m$:

$m = \frac{\rho_{в} \cdot V_{п}}{2} \cdot \frac{2 \rho_{м}}{2 \rho_{м} - \rho_{в}} = \frac{\rho_{в} \rho_{м} V_{п}}{2 \rho_{м} - \rho_{в}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$m = \frac{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 8000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.015 \text{ м}^3}{2 \cdot 8000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = \frac{120000 \text{ кг}}{16000 - 1000} = \frac{120000 \text{ кг}}{15000} = 8 \text{ кг}$

Ответ: масса шара равна 8 кг.