Номер 748, страница 146 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$V = 100 \text{ см}^3$

$F = 0,10 \text{ Н}$

Соотношение масс: $m_{большая} / m_{меньшая} = 3$

Погружение верхнего шара: $V_{погр1} = V/2$

$V = 100 \text{ см}^3 = 100 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 100 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 10^{-4} \text{ м}^3$

Примем $g \approx 10 \text{ Н/кг}$

Найти:

$\rho_ж$ - плотность жидкости.

Решение:

Обозначим верхний шар как шар 1, а нижний — как шар 2. Их массы — $m_1$ и $m_2$ соответственно. Поскольку верхний шар плавает, частично погрузившись в жидкость, его плотность меньше плотности жидкости. Нижний шар полностью погружен и натягивает нить, значит, он тонет, и его плотность больше плотности жидкости. Так как объемы шаров одинаковы ($V_1 = V_2 = V$), то масса нижнего шара больше массы верхнего: $m_2 > m_1$. По условию, массы шаров различаются в 3 раза, следовательно, $m_2 = 3m_1$.

Рассмотрим условия равновесия для каждого шара.

1. На верхний шар (1) действуют три силы: сила тяжести $m_1 g$ (вниз), сила натяжения нити $F$ (вниз) и выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_{А1}$ (вверх). Условие равновесия для верхнего шара:

$F_{А1} = m_1 g + F$

Сила Архимеда для верхнего шара, погруженного на половину объема $V/2$, равна:

$F_{А1} = \rho_ж g \frac{V}{2}$

Таким образом, первое уравнение равновесия:

$\rho_ж g \frac{V}{2} = m_1 g + F \quad (1)$

2. На нижний шар (2) действуют три силы: сила тяжести $m_2 g$ (вниз), сила натяжения нити $F$ (вверх) и выталкивающая сила $F_{А2}$ (вверх). Условие равновесия для нижнего шара:

$F_{А2} + F = m_2 g$

Сила Архимеда для нижнего шара, погруженного полностью, равна:

$F_{А2} = \rho_ж g V$

Таким образом, второе уравнение равновесия:

$\rho_ж g V + F = m_2 g \quad (2)$

Мы получили систему двух уравнений. Подставим в нее соотношение масс $m_2 = 3m_1$:

$\{\rho_ж g \frac{V}{2} = m_1 g + F$

$\{\rho_ж g V + F = 3m_1 g$

Выразим $m_1 g$ из первого уравнения:

$m_1 g = \rho_ж g \frac{V}{2} - F$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\rho_ж g V + F = 3 \left( \rho_ж g \frac{V}{2} - F \right)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $\rho_ж$:

$\rho_ж g V + F = \frac{3}{2} \rho_ж g V - 3F$

$F + 3F = \frac{3}{2} \rho_ж g V - \rho_ж g V$

$4F = \left( \frac{3}{2} - 1 \right) \rho_ж g V$

$4F = \frac{1}{2} \rho_ж g V$

Отсюда выражаем плотность жидкости:

$8F = \rho_ж g V$

$\rho_ж = \frac{8F}{gV}$

Подставим числовые значения:

$\rho_ж = \frac{8 \cdot 0,10 \text{ Н}}{10 \text{ Н/кг} \cdot 10^{-4} \text{ м}^3} = \frac{0,8}{10^{-3}} \text{ кг/м}^3 = 800 \text{ кг/м}^3$

Ответ: плотность жидкости равна $800 \text{ кг/м}^3$.