Номер 751, страница 147 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$|\Delta h| = 5,0 \text{ мм}$

$S = 1,10 \text{ дм}^2$

$\rho_м = 12 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$ (плотность металла)

$\rho_в = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность воды)

Перевод в систему СИ:

$|\Delta h| = 5,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$S = 1,10 \text{ дм}^2 = 1,10 \cdot (10^{-1} \text{ м})^2 = 1,10 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$

$\rho_м = 12 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 12 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 12 \cdot \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 12 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 12000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

$m_м$ - массу куска металла.

Решение:

Рассмотрим два состояния системы: начальное (лед с металлом плавает) и конечное (лед растаял, металл на дне).

1. В начальном состоянии лед с вмерзшим в него металлом плавает на поверхности воды. Пусть масса льда равна $m_л$, а масса металла — $m_м$. По условию плавания тел, сила Архимеда $F_{A1}$, действующая на систему, уравновешивает ее суммарную силу тяжести:

$F_{A1} = (m_л + m_м)g$

Сила Архимеда также равна весу вытесненной жидкости:

$F_{A1} = \rho_в g V_1$

где $\rho_в$ — плотность воды, а $V_1$ — объем погруженной части системы (объем вытесненной воды). Приравнивая два выражения, находим объем вытесненной воды в начальном состоянии:

$\rho_в g V_1 = (m_л + m_м)g \implies V_1 = \frac{m_л + m_м}{\rho_в}$

2. В конечном состоянии лед полностью растаял, превратившись в воду, а кусок металла утонул и лежит на дне сосуда. Растаявший лед образует воду объемом $V_{воды} = \frac{m_л}{\rho_в}$. Кусок металла имеет объем $V_м = \frac{m_м}{\rho_м}$ и, находясь на дне, добавляет этот объем к общему объему содержимого сосуда. Таким образом, суммарный объем, который добавляется в воду (растаявший лед) и занимает место на дне (металл), равен:

$V_2 = V_{воды} + V_м = \frac{m_л}{\rho_в} + \frac{m_м}{\rho_м}$

Изменение объема, занимаемого системой в воде, при переходе из начального состояния в конечное, и есть причина изменения уровня воды. Это изменение равно:

$\Delta V = V_2 - V_1 = \left(\frac{m_л}{\rho_в} + \frac{m_м}{\rho_м}\right) - \left(\frac{m_л + m_м}{\rho_в}\right)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\Delta V = \frac{m_л}{\rho_в} + \frac{m_м}{\rho_м} - \frac{m_л}{\rho_в} - \frac{m_м}{\rho_в} = m_м \left(\frac{1}{\rho_м} - \frac{1}{\rho_в}\right)$

Это изменение объема $\Delta V$ связано с изменением уровня воды $\Delta h$ и площадью дна сосуда $S$ соотношением $\Delta V = S \cdot \Delta h$. По условию, уровень воды понизился, следовательно, $\Delta h$ — отрицательная величина, и $\Delta V$ тоже отрицательно (так как $\rho_м > \rho_в$, то $\frac{1}{\rho_м} < \frac{1}{\rho_в}$, и разность в скобках отрицательна). Запишем через модуль понижения уровня $|\Delta h|$:

$-S \cdot |\Delta h| = m_м \left(\frac{1}{\rho_м} - \frac{1}{\rho_в}\right)$

Домножим обе части на -1, чтобы избавиться от знаков минус:

$S \cdot |\Delta h| = m_м \left(\frac{1}{\rho_в} - \frac{1}{\rho_м}\right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$S \cdot |\Delta h| = m_м \frac{\rho_м - \rho_в}{\rho_в \rho_м}$

Из этого уравнения выразим искомую массу металла $m_м$:

$m_м = \frac{S \cdot |\Delta h| \cdot \rho_в \cdot \rho_м}{\rho_м - \rho_в}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$m_м = \frac{1,10 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2 \cdot 5,0 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 12000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{12000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}$

$m_м = \frac{1,10 \cdot 5,0 \cdot 10^{-5} \cdot 1,2 \cdot 10^7}{11000} \text{ кг} = \frac{5,5 \cdot 1,2 \cdot 10^2}{1,1 \cdot 10^4} \text{ кг} = \frac{6,6 \cdot 10^2}{1,1 \cdot 10^4} \text{ кг} = 6 \cdot 10^{-2} \text{ кг} = 0,06 \text{ кг}$

Переведем массу в граммы: $0,06 \text{ кг} = 60 \text{ г}$.

Ответ: масса куска металла равна 60 г.