Номер 756, страница 148 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Объем шара $V = 1.0 \, \text{дм}^3$

Абсолютное удлинение пружины $\Delta l = 10 \, \text{см}$

Плотность дерева $\rho_д = 0.80 \, \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

Плотность воды (справочное значение) $\rho_в = 1000 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \, \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$

Перевод в систему СИ:

$V = 1.0 \, \text{дм}^3 = 1.0 \cdot (10^{-1} \, \text{м})^3 = 1.0 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3$

$\Delta l = 10 \, \text{см} = 0.1 \, \text{м}$

$\rho_д = 0.80 \, \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 0.80 \cdot \frac{10^{-3} \, \text{кг}}{(10^{-2} \, \text{м})^3} = 0.80 \cdot \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 800 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Жесткость пружины $k$.

Решение:

Деревянный шар находится в равновесии под водой. Это означает, что сумма сил, действующих на него, равна нулю. Рассмотрим силы, действующие на шар:

1. Сила тяжести ($F_т$), направленная вертикально вниз. Она равна произведению массы шара ($m_д$) на ускорение свободного падения ($g$): $F_т = m_д g$. Массу шара можно выразить через его плотность ($\rho_д$) и объем ($V$): $m_д = \rho_д V$. Таким образом, $F_т = \rho_д V g$.

2. Сила упругости ($F_{упр}$), создаваемая растянутой пружиной. Так как шар стремится всплыть, пружина растягивается и тянет его вниз. Согласно закону Гука, $F_{упр} = k \Delta l$, где $k$ – искомая жесткость пружины, а $\Delta l$ – ее удлинение.

3. Выталкивающая сила (сила Архимеда, $F_A$), направленная вертикально вверх. Она равна весу воды в объеме, вытесненном шаром: $F_A = \rho_в g V$, где $\rho_в$ – плотность воды.

Условие равновесия шара можно записать как равенство сил, действующих вверх и вниз:

$F_A = F_т + F_{упр}$

Подставим выражения для сил в это уравнение:

$\rho_в g V = \rho_д g V + k \Delta l$

Выразим из этого уравнения жесткость пружины $k$:

$k \Delta l = \rho_в g V - \rho_д g V$

$k \Delta l = (\rho_в - \rho_д) g V$

$k = \frac{(\rho_в - \rho_д) g V}{\Delta l}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$k = \frac{(1000 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 800 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}) \cdot 9.8 \, \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 1.0 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3}{0.1 \, \text{м}}$

$k = \frac{200 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \, \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 1.0 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3}{0.1 \, \text{м}} = \frac{1960 \cdot 10^{-3} \, \text{Н}}{0.1 \, \text{м}} = \frac{1.96 \, \text{Н}}{0.1 \, \text{м}} = 19.6 \, \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Ответ: жесткость пружины равна $19.6 \, \frac{\text{Н}}{\text{м}}$.