Номер 763, страница 148 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$a = 10,0$ см

$V_{min} = 200$ см$^3$

$S_0 = 3,00$ дм$^2$

$\rho_в = 1000$ кг/м$^3$ (плотность воды)

Перевод в систему СИ:

$a = 10,0 \text{ см} = 0,100 \text{ м}$

$V_{min} = 200 \text{ см}^3 = 200 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 200 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 2,00 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

$S_0 = 3,00 \text{ дм}^2 = 3,00 \cdot (10^{-1} \text{ м})^2 = 3,00 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$

Найти:

$m$

Решение:

Минимальный объем воды $V_{min}$, который нужно налить, чтобы кубик оторвался от дна, соответствует моменту, когда выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$ уравновешивает силу тяжести кубика $F_g$. В этот момент кубик начинает плавать.

Условие плавания тела:

$F_A = F_g$

Сила тяжести равна $F_g = m \cdot g$, где $m$ – масса кубика, $g$ – ускорение свободного падения.

Сила Архимеда равна $F_A = \rho_в \cdot g \cdot V_{погр}$, где $\rho_в$ – плотность воды, $V_{погр}$ – объем погруженной части кубика.

Пусть $h$ – это уровень воды в аквариуме в тот момент, когда кубик начинает всплывать. Объем погруженной части кубика равен произведению площади его основания $a^2$ на высоту $h$:

$V_{погр} = a^2 \cdot h$

Подставив выражения для сил в условие плавания, получим:

$\rho_в \cdot g \cdot a^2 \cdot h = m \cdot g$

Сократив $g$, выразим массу кубика:

$m = \rho_в \cdot a^2 \cdot h$

Теперь найдем высоту $h$. Объем налитой воды $V_{min}$ равен объему, который занимает вода в аквариуме до высоты $h$. Этот объем равен произведению высоты $h$ на площадь дна, которую занимает вода. Эта площадь равна разности площади дна аквариума $S_0$ и площади основания кубика $a^2$.

$V_{min} = (S_0 - a^2) \cdot h$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h = \frac{V_{min}}{S_0 - a^2}$

Подставим это выражение для $h$ в формулу для массы:

$m = \rho_в \cdot a^2 \cdot \frac{V_{min}}{S_0 - a^2}$

Рассчитаем площадь основания кубика в СИ:

$a^2 = (0,100 \text{ м})^2 = 0,0100 \text{ м}^2 = 1,00 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$

Теперь подставим все числовые значения в итоговую формулу:

$m = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 1,00 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2 \cdot \frac{2,00 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3}{3,00 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2 - 1,00 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2}$

$m = 1000 \cdot 1,00 \cdot 10^{-2} \cdot \frac{2,00 \cdot 10^{-4}}{2,00 \cdot 10^{-2}} \text{ кг}$

$m = 10 \cdot (1,00 \cdot 10^{-2}) \text{ кг} = 0,1 \text{ кг}$

Ответ: $m = 0,1 \text{ кг}$ (или $100$ г).