Номер 769, страница 150 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Объемы шаров: $V_{Al} = V_{st} = V$

Доля погруженного объема алюминиевого шара: $\epsilon_1 = 18\% = 0.18$

Плотность алюминия (справочное значение): $\rho_{Al} = 2700 \text{ кг/м}^3$

Плотность стали (справочное значение): $\rho_{st} = 7800 \text{ кг/м}^3$

Плотность воды (справочное значение): $\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Долю погруженного объема стального шара $\epsilon_2$

Решение:

1. Запишем условие равновесия рычага для начального состояния, когда шары подвешены в воздухе. Пусть $l_1$ и $l_2$ — плечи рычага для алюминиевого и стального шаров соответственно. Моменты сил, создаваемые весами шаров, должны быть равны (правило моментов):

$M_1 = M_2$

Силы, действующие на рычаг, это веса шаров: $F_1 = m_{Al} g$ и $F_2 = m_{st} g$.

$m_{Al} g l_1 = m_{st} g l_2$

Выразим массы через плотности ($\rho_{Al}$, $\rho_{st}$) и одинаковый объем $V$:

$\rho_{Al} V g l_1 = \rho_{st} V g l_2$

Сокращая одинаковые множители ($V$ и $g$), получаем соотношение для плеч:

$\rho_{Al} l_1 = \rho_{st} l_2$ (1)

2. Когда шары частично погружают в воду, на них начинает действовать выталкивающая сила Архимеда. Силы, действующие на рычаг со стороны нитей, уменьшаются. По условию, равновесие сохраняется, значит, новое условие равновесия:

$M'_1 = M'_2$

Новые силы натяжения нитей: $T_1 = m_{Al} g - F_{A,Al}$ и $T_2 = m_{st} g - F_{A,st}$.

$(m_{Al} g - F_{A,Al}) l_1 = (m_{st} g - F_{A,st}) l_2$ (2)

3. Так как и начальное ($M_1=M_2$), и конечное ($M'_1=M'_2$) равновесия выполняются, это означает, что изменение момента силы с одной стороны рычага равно изменению момента силы с другой стороны. Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$M_1 - M'_1 = M_2 - M'_2$

$(m_{Al} g l_1) - ((m_{Al} g - F_{A,Al}) l_1) = (m_{st} g l_2) - ((m_{st} g - F_{A,st}) l_2)$

$F_{A,Al} l_1 = F_{A,st} l_2$

Это означает, что моменты, создаваемые выталкивающими силами, должны быть равны, чтобы равновесие сохранилось.

4. Распишем силы Архимеда. Для алюминиевого шара: $F_{A,Al} = \rho_в g V_{погр,Al} = \rho_в g (\epsilon_1 V)$. Для стального шара: $F_{A,st} = \rho_в g V_{погр,st} = \rho_в g (\epsilon_2 V)$, где $\epsilon_2$ - искомая доля погруженного объема стального шара.

Подставим эти выражения в полученное равенство:

$(\rho_в g \epsilon_1 V) l_1 = (\rho_в g \epsilon_2 V) l_2$

Сократим обе части на $\rho_в g V$:

$\epsilon_1 l_1 = \epsilon_2 l_2$

Отсюда находим искомую величину $\epsilon_2$:

$\epsilon_2 = \epsilon_1 \frac{l_1}{l_2}$

5. Из уравнения (1) найдем отношение плеч $\frac{l_1}{l_2}$:

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{\rho_{st}}{\rho_{Al}}$

Подставим это отношение в формулу для $\epsilon_2$:

$\epsilon_2 = \epsilon_1 \frac{\rho_{st}}{\rho_{Al}}$

6. Подставим числовые значения:

$\epsilon_2 = 0.18 \cdot \frac{7800 \text{ кг/м}^3}{2700 \text{ кг/м}^3} = 0.18 \cdot \frac{78}{27} = 0.18 \cdot \frac{26}{9} = 0.02 \cdot 26 = 0.52$

Чтобы выразить результат в процентах, умножим на 100%:

$\epsilon_2 = 0.52 \cdot 100\% = 52\%$

Ответ: 52%.