Номер 776, страница 151 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса стакана $m = 200 \text{ г}$

Толщина дна стакана $h = 2,0 \text{ см}$

Площадь поперечного сечения $S = 40 \text{ см}^2$

Плотность керосина (справочное значение) $\rho_к = 800 \text{ кг/м}^3$

Плотность воды (справочное значение) $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Перевод в систему СИ:

$m = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг}$

$h = 2,0 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

$S = 40 \text{ см}^2 = 40 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

Найти:

Глубину погружения стакана в воду $h_в$.

Решение:

Стакан плавает, находясь в равновесии. Согласно условию плавания тел, сила тяжести, действующая на стакан вместе с его содержимым, уравновешивается выталкивающей силой (силой Архимеда), действующей со стороны обеих жидкостей.

Условие равновесия в общем виде:

$F_{тяж} = F_{А}$

Сила тяжести $F_{тяж}$ складывается из силы тяжести самого стакана $P_{ст} = mg$ и силы тяжести керосина, который его заполняет, $P_к = m_к g$.

$F_{тяж} = (m + m_к)g$

Пусть полная высота стакана равна $H$. Так как стакан полностью погружен, а толщина его дна равна $h$, то внутренняя высота, занимаемая керосином, составляет $H_{вн} = H - h$.

Объем керосина внутри стакана: $V_к = S \cdot H_{вн} = S(H - h)$.

Масса керосина внутри стакана: $m_к = \rho_к V_к = \rho_к S(H - h)$.

Тогда полная сила тяжести равна:

$F_{тяж} = (m + \rho_к S(H - h))g$

Выталкивающая сила $F_{А}$ является суммой выталкивающих сил со стороны воды ($F_{А,в}$) и со стороны керосина, в который погружен стакан ($F_{А,к}$).

$F_А = F_{А,в} + F_{А,к}$

Пусть $h_в$ — это глубина погружения стакана в воду, а $h_к$ — глубина погружения в керосин. Поскольку стакан полностью погружен, его общая высота $H = h_в + h_к$.

Выталкивающая сила со стороны воды действует на объем $V_{погр,в} = S h_в$ и равна:

$F_{А,в} = \rho_в g V_{погр,в} = \rho_в g S h_в$

Выталкивающая сила со стороны керосина действует на объем $V_{погр,к} = S h_к$ и равна:

$F_{А,к} = \rho_к g V_{погр,к} = \rho_к g S h_к$

Суммарная выталкивающая сила:

$F_А = \rho_в g S h_в + \rho_к g S h_к$

Приравниваем силу тяжести и выталкивающую силу:

$(m + \rho_к S(H-h))g = (\rho_в g S h_в + \rho_к g S h_к)g$

Сокращаем $g$ и подставляем $H = h_в + h_к$:

$m + \rho_к S(h_в + h_к - h) = \rho_в S h_в + \rho_к S h_к$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$m + \rho_к S h_в + \rho_к S h_к - \rho_к S h = \rho_в S h_в + \rho_к S h_к$

Член $\rho_к S h_к$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому его можно сократить:

$m + \rho_к S h_в - \rho_к S h = \rho_в S h_в$

Перенесем члены, содержащие искомую величину $h_в$, в одну сторону:

$m - \rho_к S h = \rho_в S h_в - \rho_к S h_в$

$m - \rho_к S h = (\rho_в - \rho_к) S h_в$

Из этого уравнения выражаем $h_в$:

$h_в = \frac{m - \rho_к S h}{(\rho_в - \rho_к)S}$

Теперь подставим числовые значения в системе СИ:

$h_в = \frac{0,2 \text{ кг} - 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2 \cdot 0,02 \text{ м}}{(1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}) \cdot 4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2}$

$h_в = \frac{0,2 - 0,064}{200 \cdot 4 \cdot 10^{-3}} \text{ м} = \frac{0,136}{800 \cdot 10^{-3}} \text{ м} = \frac{0,136}{0,8} \text{ м}$

$h_в = 0,17 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0,17 \text{ м} = 17 \text{ см}$.

Ответ: глубина погружения стакана в воду составляет 17 см.