Номер 773, страница 150 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Однородная длинная линейка с миллиметровыми делениями, нитки, стакан с водой, ластик.

Плотность воды $ \rho_в = 1,0 \frac{г}{см^3} $.

Перевод в систему СИ:
$ \rho_в = 1,0 \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 1,0 \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} $.

Найти:

Плотность вещества, из которого изготовлен ластик, $ \rho_л $.

Решение:

Для определения плотности ластика воспользуемся методом гидростатического взвешивания с помощью самодельных рычажных весов, сделанных из линейки.

Плотность ластика определяется по формуле $ \rho_л = \frac{m_л}{V_л} $, где $ m_л $ – масса ластика, а $ V_л $ – его объем. Так как у нас нет весов и мензурки, мы найдем эти величины косвенно, используя правило моментов и закон Архимеда.

Порядок выполнения работы:

1. Создание рычажных весов. Подвесим линейку на нити. Перемещая нить вдоль линейки, найдем ее центр масс – точку, в которой линейка находится в горизонтальном равновесии. Так как линейка однородная, эта точка (точка опоры O) будет совпадать с ее геометрическим центром.

2. Первое взвешивание (в воздухе).

а) Подвесим ластик на нити с одной стороны от точки опоры O на некотором расстоянии $ l_1 $. Это расстояние нужно измерить линейкой.

б) С другой стороны от точки опоры подвесим на нити пустой стакан, который будет играть роль противовеса. Будем передвигать стакан до тех пор, пока рычаг (линейка) не придет в равновесие. Измерим расстояние $ l_2 $ от точки опоры до точки подвеса стакана.

в) Запишем условие равновесия рычага (правило моментов). Момент силы, создаваемый весом ластика, равен моменту силы, создаваемому весом стакана:

$ M_л = M_{ст} \implies P_л \cdot l_1 = P_{ст} \cdot l_2 $

где $ P_л = m_л g $ – вес ластика, а $ P_{ст} = m_{ст} g $ – вес стакана. После сокращения на $ g $ получаем:

$ m_л l_1 = m_{ст} l_2 $ (1)

3. Второе взвешивание (ластик в воде).

а) Не меняя положения точки опоры и стакана-противовеса (он остается на расстоянии $ l_2 $), нальем в стакан воду и погрузим в нее ластик так, чтобы он был полностью в воде, но не касался дна и стенок стакана.

б) На ластик, погруженный в воду, действует выталкивающая сила Архимеда $ F_A $, направленная вертикально вверх. Равновесие рычага нарушится. Кажущийся вес ластика в воде станет равен $ P'_л = P_л - F_A $.

в) Чтобы восстановить равновесие, будем перемещать подвешенный ластик вдоль линейки, удаляя его от точки опоры. Найдем новое положение, в котором рычаг снова будет в равновесии. Измерим новое расстояние $ l'_1 $ от точки опоры до ластика.

г) Запишем новое условие равновесия:

$ P'_л \cdot l'_1 = P_{ст} \cdot l_2 $

Подставим выражение для кажущегося веса $ P'_л = m_л g - F_A $ и силы Архимеда $ F_A = \rho_в g V_л $:

$ (m_л g - \rho_в g V_л) l'_1 = m_{ст} g l_2 $

Сократив на $ g $, получим:

$ (m_л - \rho_в V_л) l'_1 = m_{ст} l_2 $ (2)

4. Вывод расчетной формулы.

Мы получили систему из двух уравнений. Правые части уравнений (1) и (2) равны, следовательно, равны и их левые части:

$ m_л l_1 = (m_л - \rho_в V_л) l'_1 $

Раскроем скобки и преобразуем выражение, чтобы найти отношение $ m_л / V_л $:

$ m_л l_1 = m_л l'_1 - \rho_в V_л l'_1 $

$ \rho_в V_л l'_1 = m_л l'_1 - m_л l_1 $

$ \rho_в V_л l'_1 = m_л (l'_1 - l_1) $

Разделив обе части на $ V_л $ и на $ (\l'_1 - l_1) $, получим:

$ \frac{m_л}{V_л} = \rho_в \frac{l'_1}{l'_1 - l_1} $

Так как $ \rho_л = \frac{m_л}{V_л} $, итоговая формула для расчета плотности ластика:

$ \rho_л = \rho_в \frac{l'_1}{l'_1 - l_1} $

Ответ:

Для определения плотности ластика $ \rho_л $ необходимо:
1. С помощью линейки, подвешенной на нити за центр, создать рычажные весы.
2. Уравновесить ластик, подвешенный на расстоянии $ l_1 $ от центра, пустым стаканом, подвешенным на расстоянии $ l_2 $.
3. Погрузить ластик в воду и снова уравновесить систему, переместив ластик на новое расстояние $ l'_1 $ от центра (положение стакана не меняется).
4. Измерив расстояния $ l_1 $ и $ l'_1 $ и зная плотность воды $ \rho_в $, рассчитать плотность ластика по формуле: $ \rho_л = \rho_в \frac{l'_1}{l'_1 - l_1} $.